Pré-Vestibular ⇒ PUCPR - 2023/1: Sistema Linear Tópico resolvido

[matheusfec]

O sistema linear

𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
{−2𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = −1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 3

,nas incógnitas x, y e z, admite solução se, e somente se, 𝑚 ∈ (ℝ − 𝐀).Então, quantos são os elementos do conjunto
das partes de A?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8

Gabarito:

Resposta

---

B

[petrasMOD]

matheusfec,

QUESTÃO EM DESCORODO COM AS REGRAS DO FORUM..POR FAVOR ANTES DE POSTAR LEIA AS MESMAS E TRANSCREVA SUA QUESTÃO.

[JigsawMOD]

petras, o usuário REDIGITOU o enunciado da questão caso alguém queira efetuar a sua resolução.

[petrasMOD]

matheusfec, Jigsaw,

Para garantir que o sistema tenha solução, além de verificar se o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, precisamos verificar os determinantes secundários para analisar a existência de soluções para qualquer valor de m.

Matriz dos Coeficientes e Determinante Principal
O sistema dado é:

\[
\begin{cases}
m x + y + z = 2 \\
-2x + m y + z = -1 \\
2x + y + m z = 3
\end{cases}
\]

A matriz dos coeficientes é:

\[
A =
\begin{bmatrix}
m & 1 & 1 \\
-2 & m & 1 \\
2 & 1 & m
\end{bmatrix}
\]

Claculando o determinante principal teremos:

\[
\det(A) = m(m - 1)(m + 1)
\]

Os valores proibidos por esse determinante são(A):

\[
m = -1, \quad m = 0, \quad m = 1
\]

---

Determinantes Secundários: Se algum desses determinantes for zero junto com det(A), o sistema pode ser indeterminado.

Vamos verificar os determinantes das matrizes menores ( 2 x 2 ):

1. Removendo a primeira linha:
\[
A_1 =
\begin{bmatrix}
-2 & m \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\]

\[
\det(A_1) = (-2)(1) - (m)(2) = -2 - 2m
\]

2. Removendo a segunda linha:
\[
A_2 =
\begin{bmatrix}
m & 1 \\
2 & m
\end{bmatrix}
\]

\[
\det(A_2) = m(m) - (1)(2) = m^2 - 2
\]

3. Removendo a terceira linha:
\[
A_3 =
\begin{bmatrix}
m & 1 \\
-2 & m
\end{bmatrix}
\]

\[
\det(A_3) = m(m) - (1)(-2) = m^2 + 2
\]

Agora, verificamos se algum desses determinantes também se anula quando det(A) = 0:

- Para m = 1:
\[
\det(A_1) = -2 - 2(1) = -4 \neq 0
\]
\[
\det(A_2) = 1^2 - 2 = -1 \neq 0
\]
\[
\det(A_3) = 1^2 + 2 = 3 \neq 0
\]

- Para m = -1:
\[
\det(A_1) = -2 - 2(-1) = 0
\]
\[
\det(A_2) = (-1)^2 - 2 = -1 \neq 0
\]
\[
\det(A_3) = (-1)^2 + 2 = 3 \neq 0
\]

- Para m = 0:
\[
\det(A_1) = -2 - 2(0) = -2 \neq 0
\]
\[
\det(A_2) = 0^2 - 2 = -2 \neq 0
\]
\[
\det(A_3) = 0^2 + 2 = 2 \neq 0
\]

O único caso problemático é m = -1, pois det(A) = 0 e det(A_1) = 0, o que indica que o sistema pode ser **indeterminado ou impossível**.

Portanto, o conjunto A dos valores proibidos deve ser A = {-1}

O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é dado por:

\[
2^n
\]

Como A = {-1} tem apenas 1 elemento, o número total de subconjuntos é:

\[
2^1 = 2
\]

Resposta final: 2.