Ensino Médio ⇒ Números Imaginários Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

[tex3]A = i + i^2 + i^3 + ... + i^{2022}[/tex3]
[tex3]B = i^{1011} + i^{1012} + i^{1013} + ... + i^{2000}[/tex3]

[tex3]A + B = ?[/tex3]

(A) [tex3]0[/tex3]
(B) [tex3]1[/tex3]
(C) [tex3]- 1[/tex3]
(D) [tex3]2[/tex3]
(E) [tex3]- 2[/tex3]

[leozitz]

[tex3]Ai = i^2 + i^3 + ... + i^{2023} = A-i+i^{2023}[/tex3]
[tex3]C = i + i^2 + i^3 + ... + i^{1010}\implies iC =C + i^{1011}-i[/tex3]
[tex3](B+C)i =B + C + i^{2001}-i [/tex3]
aagora a gente tem tudo oq precisa

[tex3]Ai = A - i - i\implies A(i-1) = -2i[/tex3]
[tex3]A = \frac{-2i}{i-1}=\frac{-2i(i+1)}{-2}=i-1[/tex3]

[tex3]Ci = C-2i[/tex3] como a gente viu acima [tex3]C = i -1[/tex3]

[tex3](B+C)i = B + C + i - i\\
(B + C)i = B + C[/tex3] oq só funciona se B + C = 0, ou seja, B + C = B + A = 0

[leozitz]

na verdade eu compliquei atoa, fiz tentando imitar o jeito que a gente faz descobrir a soma n + (n+1) + ... + (n+k)
mas a gente pode simplesmente fazer assim
[tex3]Bi = B + i^{2001}-i^{1011}\\
Bi = B + i +i[/tex3]
somando com [tex3]Ai = A -2i[/tex3] a gente tem que
[tex3](A+B)i = A + B[/tex3] dai A + B = 0