Concursos Públicos ⇒ Matrizes 4x4 o ultimo desafio Tópico resolvido

[wagnersakter41]

Tentei calcular pelo método das matrizes e não consegui nem no excel:
O sistema abaixo possui uma única solução [tex3](x,\, y,\, z,\, w)[/tex3]. Pode-se afirmar que a soma [tex3]S=x+y+z+w[/tex3] é igual a:

[tex3]\begin{cases}2x+y+z+w=1 \\ x+2y+z+w=2 \\ x+y+2z+w=3 \\ x+y+z+2w=4\end{cases}[/tex3]

a)1
b)2
c)3
d)4

Gabarito:

Resposta

---

[tex3]\boxed{b}[/tex3]

Há um método rápido para calcular esse determinante

[Auto Excluído (ID:3002)]

Seja

[tex3]2x+y+z+w=1[/tex3] (I)
[tex3]x+2y+z+w=2[/tex3] (II)
[tex3]x+y+2z+w=3[/tex3] (III)
[tex3]x+y+z+2w=4[/tex3] (IV)

Somando (I) com (II), temos:
[tex3]3(x+y)+2(z+w)=3[/tex3]
[tex3]x+y=1-\frac{2}{3}(z+w)[/tex3] (V)

Somando (III) com (IV), temos:
[tex3]2(x+y)+3(z+w)=7[/tex3]
[tex3]z+w=\frac{7}{3}-\frac{2}{3}(x+y)[/tex3] (VI)

Substituindo (V) em (VI), temos:
[tex3]z+w=\frac{7}{3}-\frac{2}{3}(1-\frac{2}{3}(z+w))[/tex3]
[tex3]z+w=3[/tex3] (VII)

Substituindo (VII) em (V), temos:
[tex3]x+y=-1[/tex3]

Logo [tex3]s=x+y+z+w[/tex3] é igual a: [tex3]{-}1+3=2[/tex3]

[fabit]

Basta somar as quatro de uma tacada só:
[tex3]5x+5y+5z+5w=10\Rightarrow5s=10[/tex3]
[tex3]s=2[/tex3]

Sempre que a matriz dos coeficientes for assim (todos os coeficientes da diagonal principal com um mesmo valor e todos os outros com um mesmo valor só que distinto daquele da diagonal), o sistema se resolve somando todas para achar esse s.

No caso dessa questão, pode parar por aí. Mas se vc quisesse ver uma variável sozinha, por exemplo z, a continuação seria:
[tex3]\begin{cases}x+y+z+w=2\\x+y+2z+w=3\end{cases}\Rightarrow(x+y+2z+w)-(x+y+z+w)=3-2\Rightarrow z=1[/tex3]