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Na figura, calcule QB , sabendo que MN=6 e NQ=2 ;além disso, AB, AN e NB são diâmetros.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5

seja [tex3]\omega_A[/tex3] o círculo de diâmetro [tex3]AN[/tex3], cujo centro é [tex3]O_A[/tex3].
[tex3]\angle AMN = \angle AMB = \frac{\widehat{AB}}2 = 90^{\circ}[/tex3], logo, [tex3]M \in \omega _A[/tex3].
Seja [tex3]E = \omega _A \cap AB \neq A[/tex3], então, [tex3]NE \perp \overleftrightarrow{AE}= \overleftrightarrow{AB} \implies \angle NEB = 90^{\circ} \implies E \in \omega _B[/tex3].
Defina [tex3]F = \omega_B \cap (AB)[/tex3], note que [tex3]AF \perp FB[/tex3] e [tex3]NF \perp FB \implies A,F, N[/tex3] colineares.

Agora veja que [tex3]\angle MFN = \angle MFA = \angle MBA = \angle NBE = \angle NFE = \angle NFQ[/tex3]

logo, [tex3]FN[/tex3] é bissetriz interna do [tex3]\triangle MFQ[/tex3] e [tex3]FB[/tex3] é a sua bissetriz externa.

Então, [tex3]MNQB[/tex3] são uma quádrupla harmônica:

[tex3]\frac{MN}{NQ} = \frac{MB}{QB} \iff 3 = \frac{8+x}x \implies x=4[/tex3]

FelipeMartin, perfeito , meu amigo!

FelipeMartin, acho que ,literalmente ,transcreveram sua resposta traduzindo- a para o espanhol.

geobson, hahahahahahahahahaha depois de um tempo, a gente se acostuma com essas coisas. Obrigado por avisar! Eu nem faço nada, porque eu não ganhei 1 centavo pra ter feito o que eu fiz. É até bom que o Brasil publique umas coisas assim de geometria.

FelipeMartin, porque na verdade o conhecimento deve ser compartilhado ,e devemos divulgar o que é salutar pra nossa vida .
Na verdade , eu agradeceria por isso, pelo fato de divulgar a minha solução para àqueles que a buscam independentemente de me darem crédito ou não até mesmo porque acredito que nada neste mundo nos pertence , sendo apenas emprestado a por um momentos até mesmo as pessoas que nos rodriam … o que é ruim é que não deve ser replicado neste mundo em que vivemos tão obscuro , e cruel…

geobson, um pouquinho de crédito seria legal, até porque os caras colocam marca d'água na página deles né e o meio acadêmico não hesita nunca de encher de lisonjas seus ilustres desconhecidos, não? Mas não devemos exigir muito mais do que o nosso País pode dar. De fato, já é bom que as soluções pra esses livros estejam sendo divulgadas.