Olimpíadas ⇒ Desafio Ponteiro Duvidoso

[Engenheiro]

Sílvia comprou um relógio de marca duvidosa e desconfiava de sua precisão. Notou que o ponteiro das horas e dos minutos ficavam exatamente um sobre o outro a cada 65 minutos, medidos pelo aparelho do escritório, que é preciso. O relógio de Silvia atrasa ou adianta? Quanto?

[Thales Gheós]

Num relógio preciso o ponteiro das horas tem uma velocidade angular de [tex3]\omega_h=\frac{\pi}{30}rad/min[/tex3] e o dos minutos [tex3]\omega_m=\frac{\pi}{360}rad/min[/tex3]. Nesse relógio

[tex3]\omega_mt+2\pi=\omega_ht\\t=\frac{2\pi}{(\omega_h-\omega_m)}[/tex3]

o tempo de encontro então será de (aplicando os valores) [tex3]65min27"[/tex3]. O relógio de Sílvia, portanto, anda mais rápido e adianta cerca de [tex3]27,3"[/tex3] por hora.

[Engenheiro]

Pra quem não sabe física:

A cada hora, o ponteiro dos minutos dá uma volta de 360° no relógio e, assim, gira 6° por minuto. Já o das horas, a cada 60 minutos, gira 30°, que é o ângulo entre duas marcas de hora. Ou seja, 1o a cada 2 minutos, ou meio grau por minuto. Agora chame de t o tempo que os ponteiros levam para se sobrepor, depois de ter se cruzado uma vez e de rodar pelo relógio até um novo encontro. Nesse tempo, o avanço do ponteiro dos minutos pode ser representado pela expressão 6t – 360° e o movimento do ponteiro das horas por [tex3]\frac{1}{2}t[/tex3] Igualando-se as expressões, temos:

[tex3]6t -360 = \frac{1}{2}t[/tex3]

[tex3]t = 65,454 minutos[/tex3]

Como no relógio de Sílvia os ponteiros demoram apenas 65 minutos para se reencontrar ele adianta 0,4545 minuto, ou seja, 27,2727 segundos a cada hora.

[jacobi]

Sílvia comprou um relógio de marca duvidosa e desconfiava de sua precisão. Notou que o ponteiro das horas e dos minutos ficavam exatamente um sobre o outro a cada 65 minutos, medidos pelo aparelho do escritório, que é preciso. O relógio de Silvia atrasa ou adianta? Quanto?

De qual Olimpíada é esse exercício?