Ensino Superior ⇒ Integração de Função Racional Tópico resolvido

[Roger547]

Bom dia amigos!

Estou com dúvida de como resolver a seguinte integral:

[tex3]\int\limits_{0}^{x}1/((-Fx^2/v^2)+F)dx[/tex3]

[FMiranda]

Bom dia amigos!

Estou com dúvida de como resolver a seguinte integral:

[tex3]\int\limits_{0}^{x}1/((-Fx^2/v^2)+F)dx[/tex3]

Tem mais dados, sobre o que seria esse [tex3]F[/tex3]?
Manda o enunciado completo.

[Roger547]

Estou modelando o disparo de um estilingue. O F é a força elástica máxima e d a deformação máxima. Logo, são constantes. A título de curiosidade uma solução que não entendi foi do exemplo 12.2 do Livro do Hibbeler de Dinâmica - 10ed. É algo a entender tbm. Hehe

[FMiranda]

Então segue a solução.
Sejam F e V valores constantes temos:
[tex3]\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(F-\frac{Fx^2}{v^2})}dx=k \implies k=\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{F(1-\frac{x^2}{v^2})}dx[/tex3]
Como F é constante podemos tira-lo da integral e veja que há uma diferença de quadrados no numerador, por conseguinte temos:
[tex3]k=\frac{1}{F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1+\frac{x}{v})(1+-\frac{x}{v})}dx[/tex3]
Veja que podemos separar a integral em duas partes tal como:
[tex3]k=\frac{1}{F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1+\frac{x}{v})(1+-\frac{x}{v})}dx=\frac{1}{2F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1+\frac{x}{v})}dx+\frac{1}{2F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1-\frac{x}{v})}[/tex3]
[tex3]k=k_1+k_2[/tex3], Tal que:
[tex3]k_1=\frac{1}{2F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1+\frac{x}{v})}dx[/tex3], veja que podemos chamar [tex3]1+\frac{x}{v}=u[/tex3], de modo que [tex3]\frac{dx}{v}=du \implies vdu=dx[/tex3].
** Iremos resolver a integral em funcão de u como se fosse indefinida e depois iremos retornar o valor de x para colocarmos os limites de integração.
Logo,
[tex3]k_1=\frac{1}{2F}\int\limits_{}^{}\frac{v}{u}du\implies k_1=\frac{v}{2F}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du\implies k_1=\frac{vln|u|}{2F}[/tex3],
Agora substituindo [tex3]u[/tex3] por [tex3]1+\frac{x}{v}[/tex3], temos:
[tex3] k_1=\frac{vln|u|}{2F}=\frac{vln|1+\frac{x}{v}|}{2F}[/tex3]
E substituindo os valores dos limites de integração temos:
[tex3]k_1=\frac{vln|1+\frac{x}{v}|}{2F}-\frac{vln|1+\frac{0}{v}|}{2F}\implies \boxed{k_1=\frac{vln|1+\frac{x}{v}|}{2F}}[/tex3]

Agora iremos achar [tex3]k_2[/tex3], a idéia é a mesma da anterior...
[tex3]u=1-\frac{x}{v}[/tex3], tal que [tex3]-vdu=dx[/tex3]
[tex3]k_2=\frac{1}{2F}\int\limits_{0}^{x}\frac{1}{(1-\frac{x}{v})}=\frac{1}{2F}\int\limits_{}^{}\frac{-v}{u}du[/tex3]
Temos entao que [tex3]k_2=\frac{-v}{2F}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{-v}{2F}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{-vln|u|}{2F}[/tex3]
Substituindo [tex3]u[/tex3] por [tex3]1-\frac{x}{v}[/tex3], temos:
[tex3]k_2=\frac{-vln|1-\frac{x}{v}|}{2F}[/tex3]
e Em seguida substituindo pelos limites de integração, temos:
[tex3]k_2=-\frac{vln|1-\frac{x}{v}|}{2F}+\frac{vln|1-\frac{0}{v}|}{2F}\implies \boxed{k_2=-\frac{vln|1-\frac{x}{v}|}{2F}}[/tex3]

Por fim, como [tex3]k=k_1+k_2[/tex3] temos:
[tex3]k=\frac{vln|1+\frac{x}{v}|}{2F}-\frac{vln|1-\frac{x}{v}|}{2F}\implies \boxed{k=\frac{vln|\frac{v+x}{v-x}|}{2F}}[/tex3]

[Roger547]

Boa Noite!
Eu joguei uns valores aqui para x (0 - 0.3m). Essa integral representa o tempo que o projétil é acelerado desde a deformação máxima do elástico até a deformação zero, ou seja, da força elástica máxima até a força nula. Se fiz correto, os valores não pareceram fazer sentido. A interpretação física está me dizendo que quando vc puxa o projétil esticando e solta o elástico ele percorre a distância de 30cm em 7 segundos. Procurando como resolver eu joguei essa equação no Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... C+x%3D0..x) e para a mesma situação deu 0.036s. Acredito que seja isso. Mas o que esse resultado enviado por você tá me dizendo?
PS a força elástica eu modelei com base em um artigo e um valor coerente é de 14N. Para ilustração a massa da bola que utilizei pra modelar a força é de 19 gramas.

[FMiranda]

Boa Noite!
Eu joguei uns valores aqui para x (0 - 0.3m). Essa integral representa o tempo que o projétil é acelerado desde a deformação máxima do elástico até a deformação zero, ou seja, da força elástica máxima até a força nula. Se fiz correto, os valores não pareceram fazer sentido. A interpretação física está me dizendo que quando vc puxa o projétil esticando e solta o elástico ele percorre a distância de 30cm em 7 segundos. Procurando como resolver eu joguei essa equação no Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... C+x%3D0..x) e para a mesma situação deu 0.036s. Acredito que seja isso. Mas o que esse resultado enviado por você tá me dizendo?
PS a força elástica eu modelei com base em um artigo e um valor coerente é de 14N. Para ilustração a massa da bola que utilizei pra modelar a força é de 19 gramas.

Pois bem camarada, confrontando com Wolframlpha. O resultado é o mesmo.
Quanto ao contexto físico não sei lhe dizer as causas de não bater com seu experimento.
Mas desde já a resolução da integral proposta está correta.
Tendo em vista que o contexto inicial é apenas a resolução da Integral .

wolf.png (4.41 KiB) Exibido 762 vezes

Por fim, solicito que dê como resolvido o problema.

[Roger547]

Tem o link? Posso ter errado na sintaxe.

[FMiranda]

Tem o link? Posso ter errado na sintaxe.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d= ... %29%2Cx%5D

wolf2.png (23.69 KiB) Exibido 758 vezes