Pré-Vestibular ⇒ UEM 2017 - funções Tópico resolvido

[stemnd]

Boa tarde! Fiz essa questão mas errei, marquei a 04 a 16 e o gabarito deu 01 e 02. por favor, alguém pode resolucionar essa questão completamente?? agradeço muito!!!

gabarito= 1+2

Acerca das funções reais f, g e h dadas, respectivamente, por f(x)=x-2, g(x)=[tex3]\frac{x-2}{x²-2}[/tex3] e h(x)= [tex3]\sqrt{2x²+4}[/tex3]assinale o que for correto.

01) gof(x) = [tex3]\frac{x-4}{x²-4x+6}[/tex3]

02) Existe x real para o qual (f+h)(x)=0.

04) Para todo x real, fg(x)=1.

08) Para todo x real, gh(x) = (x-2)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

16) A função h possui inversa.

[LucasDN684]

Boa tarde, stemnd.

Gostei da questão e gostaria de lhe ajudar, mas seu post não está alinhado às regras do fórum; se eu enviar uma resposta do jeito que está, o post será apagado e o trabalho será em vão.

[stemnd]

está editada! acho que agora voce pode me ajudar

[petrasMOD]

stemnd,

Enunciado errado, o correto seria
[tex3]\mathsf{g(x)=\frac{x-2}{x^2\color{red}+2}}\\
[/tex3]

[LucasDN684]

A fim de agilizar a leitura e condensar a informação, vou abusar um pouco dos símbolos matemáticos lógicos, mas segue seu significado:

Símbolo	Leitura
∃	"existe"
∄	"não existe"
∃!	"existe um único"
∀	"para todo"
∧	"e"
∨	"ou"
⇔	"equivale"
⇒	"implica"
∴	"portanto"

Os demais que usarei são corriqueiros a nível de ensino médio.

Sejam as funções reais f, g e h:

01)

[tex3]\left ( g\circ f \right )\left ( x \right )=\frac{[f(x)]-2}{[f(x)]^{2}+2}=\frac{[x-2]-2}{[x-2]^{2}+2}=\frac{x-4}{x^{2}-4x+6}[/tex3]

Portanto 01 procede.

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02)

[tex3]\exists x\in \mathbb{R},\, \left ( f+h \right )\left ( x \right )=0 \Leftrightarrow \left ( f+h \right )\left ( x \right )=[f\left ( x \right )]+[h\left ( x \right )]=[x-2]+[\sqrt{2x^{2}+4}]=0\Leftrightarrow \left | 2x^{2} +4\right |=\left ( 2-x \right )^{2}[/tex3]

Mas tirar o módulo é simples dado que:

[tex3] 2x^{2}+4> 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left | 2x^{2}+4 \right |=2x^{2}+4[/tex3]

Então seguimos:

[tex3] 2x^{2} +4=\left ( 2-x \right )^{2}\Rightarrow x=-4\, \, \, \vee \, \, \, x=0[/tex3]

Então 02 procede porque existe real tal que a equação dada é verdadeira. Note que existir denota a presença de "pelo menos um", isto é, há a possibilidade de uma ou mais respostas.

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04)

Note que não existe a notação (eu pelo menos nunca vi) "fg(x)", mas provavelmente deve ser da função composta "f(g(x))" pela semelhança e contexto da questão. Então seguimos:

[tex3]\forall x\in \mathbb{R},\, \left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=1\Leftrightarrow [\frac{x-2}{x^{2}+2}]-2=1\Leftrightarrow \frac{-3x^{2}+x-8}{x^{2}+2}=0\, \, \, \wedge \, \, \, x^{2}+2\neq 0[/tex3]

Mas:

[tex3] x^{2}+2\neq 0\Leftrightarrow x^{2}\neq -2,\, \forall x\in \mathbb{R}[/tex3]

Então segue que:

[tex3]\frac{-3x^{2}+x-8}{x^{2}+2}=0\Leftrightarrow 3x^{2}-x+8=0\Rightarrow \Delta =(-1)^{2}-4.3.8=-95< 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\therefore \not{\exists }x\in \mathbb{R}, (f\circ g)(x)=1[/tex3]

O que é absurdo considerando nossa hipótese de que f(g(x))=1 é verdadeiro para todo x real. Note que bastaria encontrar um único contraexemplo para invalidar uma declaração universal como essa, mas nesse caso não há um x real sequer. Portanto, 04 não procede.

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08)

[tex3]\forall x\in \mathbb{R},\, (g\circ h)(x)=(x-2)\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{[\sqrt{2x^{2}+4}\, ]-2}{[\sqrt{2x^{2}+4}\, ]^{2}+2}=(x-2)\sqrt{2}[/tex3]

Note que a expressão pode até assustar (nem eu ousaria fazer isso no braço), mas como dito anteriormente: para invalidar uma declaração universal, basta dar um contraexemplo. Logo, veja que:

[tex3] \frac{[\sqrt{2x^{2}+4}\, ]-2}{[\sqrt{2x^{2}+4}\, ]^{2}+2}=(x-2)\sqrt{2}\, \, \, \wedge \, \, \, x=0\Leftrightarrow 0=-2\sqrt{2}[/tex3]

O que é absurdo e demonstra que 08 não procede.

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16)

Para uma função ter uma inversa é condição necessária e suficiente que ela seja injetora e sobrejetora, isto é, que seja bijetora. A qualidade de injetora denota que cada injeção do domínio ao contradomínio seja único; a de sobrejetora, que a imagem seja igual ao contradomínio. Note que h(x) não satisfaz nenhuma dessas condições e uma prova prática disso é testar valores banais na função tais quais -1, 0 e 1. Note que para -1 e 1 temos a mesma imagem, o que já prova nossa tese. Ademais, note que 0 é abcissa do ponto mínimo absoluto da função (imagem de menor valor entre todos). Ademais, h(x) é uma função do 2° grau dentro do radical, então nunca poderia ser uma função real e bijetora. Segue então que 16 não procede.

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É possível matar essa questão rapidamente sendo sagaz e notando os detalhes levantados, mas tem que ter a resposta na ponta da língua.

[LucasDN684]

Gostaria de agradecer ao Petras, cuja ressalva me poupou de discorrer um raciocínio errado pela longa explicação.

Espero que isso tenha sanado suas dúvidas, stemnd!

[petrasMOD]

LucasDN684,

Como ele utilizou "gof" na alternativa 01) provavelmente fg(x) seria (f.g)(x) e gh(x) seria (g.h)(x)

[LucasDN684]

Petras,

Concordo com sua leitura da notação. Achei que era uma falta de parênteses de fg(x) para f(g(x)), assim como também faltaram em 01, mas na dúvida:

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04)

[tex3]\forall x\in \mathbb{R}, \left ( f.g \right )\left ( x \right )=1\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x-2}{x^{2}+2})=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\therefore \exists !x\in \mathbb{R}, \left ( f.g \right )\left ( x \right )=1[/tex3]

O que é uma contradição considerando nossa hipótese e portanto não procede.

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08)

[tex3]\forall x\in \mathbb{R},\, \left ( g.h \right )\left ( x \right ) =\left ( x-2 \right )\sqrt{2}\Leftrightarrow \left ( \frac{x-2}{x^{2}+2} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+4} \right )=\left ( x-2 \right )\sqrt{2}\therefore \left ( \frac{x-2}{x^{2}+2} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+4} \right )=\left ( x-2 \right )\sqrt{2}\, \, \, \wedge \, \, \, x=0\Leftrightarrow 1=\sqrt{2}\therefore \exists x\in \mathbb{R},\, \left ( g.h \right )\left ( x \right ) \neq \left ( x-2 \right )\sqrt{2}[/tex3]

O que também é uma contradição considerando nossa hipótese e portanto não procede.

[stemnd]

boa noite, rapazes! agradeço a ajuda de vcs!!! sobre a escrita da questão, errei apenas aquele sinalzinho. a notação é realmente a que o vestibular da UEM usa. obrigada pela resolução, ajudou muiiito!