Ensino Fundamental ⇒ maior inteiro positivo Tópico resolvido

[cicero444]

Qual o maior inteiro positivo n tal que os restos das divisões por 334, 238 e 154 por n são iguais?




não tenho o gabarito

[Ytoryu]

Considerando que os três números possuem restos iguais(resto = x) e queremos achar n, podemos reescreve-los como:
154 - x = n*q (q é algum inteiro)
238 - x = n*c (c é algum inteiro)
334 - x = n*k (k é algum inteiro)
Para se livrar do x podemos subtrair a primeira equação da segunda, a primeira da terceira, e a segunda da terceira:
84 = n(c-q)
180 = n(k-q)
96 = n(k-c)
Olhando a fatoração de 84, 180 e 96, temos:
84 = 2*2*3*7=12*7
180 = 2*2*3*3*5 = 12*15
96 = 2*2*2*2*2*3 = 12*8
Assim, pode se concluir que o maior n que deixa o mesmo resto na divisão de 154, 238 e 334 é n=12.

OBS:Vale ressaltar que eu adaptei a minha própia resolução trocando por exemplo: 154 ≡ x (mod n) → 154 - x = n*q