IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1983) Geometria Tópico resolvido

[agp16]

Um triângulo de [tex3]30cm[/tex3] de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura. em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é:

a) [tex3]5.\sqrt3[/tex3]
b) [tex3]6.\sqrt3[/tex3]
c) [tex3]10.\sqrt3[/tex3]
d) [tex3]15.\sqrt3[/tex3]
e) [tex3]20.\sqrt3[/tex3]

[fabit]

Partes equivalentes significa partes de mesma área.

Então a área (chame de 3S) fica dividida em S+S+S para cada pedaço. De forma cumulativa, a paralela mais próxima do vértice de qual parte a altura de 30cm delimita um triângulo de área S e a outra delimita um triângulo de área 2S. Assim, há três triângulos semelhantes cujas áreas são proporcionais a 1, 2 e 3. Logo, a altura de 30cm deve ser dividida em áreas proporcionais a [tex3]1[/tex3], [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]\sqrt{3}[/tex3].

O maior segmento fica sendo [tex3]\frac{30\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}[/tex3]

Não sei quanto isso dá, pois a racionalização é complexa.

Agora estou de saída, mas tô achando estranho.

[ALDRINMOD]

Considerando as medidas em [tex3]cm[/tex3],

[tex3]\frac{H^2}{h^2}=\frac{A}{\frac{A}{3}} \to \frac{30^2}{h^2}=\frac{A}{\frac{A}{3}} \to h^2=\frac{30^2}{3}[/tex3]

[tex3]h^2=\frac{30}{\sqrt{3}}[/tex3]

logo, [tex3]h=10\sqrt{3}\text{ cm}[/tex3].

Portanto, letra [tex3]\boxed{c}[/tex3].

[agp16]

Olá fabit e ALDRIN,

Gostaria de agradecer a disponibilidade na resolução da questão. Valeu.

[petrasMOD]