ITA 1953 ⇒ (ITA-1953) Sistemas de Equações Tópico resolvido

[JigsawMOD]

TERCEIRA PARTE

1 – Discutir o sistema:

[tex3]mx+y-z=4[/tex3]
[tex3]x+my+z=0[/tex3]
[tex3]x-y=2[/tex3]

2a – Qual é a soma da série: [tex3]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...[/tex3]?
2b – Partindo de um quadrado [tex3]Q_1[/tex3], cujo lado mede [tex3]a[/tex3] metros, consideremos os quadrados [tex3]Q_2,\ Q_3,\ Q_4,\ ...\ Q_n[/tex3] tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados [tex3]Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ ...\ Q_n[/tex3]

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Também mantive os dois itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petrasMOD]

Jigsaw,

1)
Aplique o Teorema de Rouché-Frobenius para calcular o número de soluções.
[tex3]m^2-1≠0\\

posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 &4 \\
1 &m &1 &0 \\
1 &-1 & 0 &2 \\
\end{bmatrix}=3\\

posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 \\
1 &m &1 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{bmatrix}=3\\[/tex3]
O posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e é igual ao número de incógnitas.
O sistema é compatível e determinado (existe uma solução única).

[tex3]m=1\\
posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 &4 \\
1 &m &1 &0 \\
1 &-1 & 0 &2 \\
\end{bmatrix}=3\\
posto\begin{bmatrix}
m &1 &-1 \\
1 &m &1 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{bmatrix}=3[/tex3]

O posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e é igual ao número de incógnitas. O sistema é compatível e determinado (existe uma solução única).
[tex3]m=-1\\
posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 &4 \\
1 &m &1 &0 \\
1 &-1 & 0 &2 \\
\end{bmatrix}=3\\
posto \begin{bmatrix}
m &1 &-1 \\
1 &m &1 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{bmatrix}=2
[/tex3]
O posto da matriz aumentada não é igual ao posto da matriz dos coeficientes e não é igual ao número de incógnitas. O sistema é incompatível e indeterminado (não existe solução).


2a) Temos uma PG de razão: [tex3]q=\frac{1}2 \implies 0 < q <1\\
\therefore S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\boxed{2}[/tex3]

2b) Área do primeiro quadrado: [tex3]A_1=a^2[/tex3]

O lado do segundo quadrado é [tex3]L_2=\frac{a\sqrt2}{2} \implies A_2=\frac{A^2}{2}[/tex3]

E assim por diante, onde a soma forma uma PG de razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

Logo, [tex3] S=\frac{a^2}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\boxed{2a^2}[/tex3]
(viewtopic.php?t=18479)