Pré-Vestibular ⇒ (UNEB 2023) Geometria Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

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As medidas de um terreno triangular são números inteiros e estão em progressão geométrica. A soma de todos os termos e o produto entre o primeiro e terceiro termo dessa progressão são, respectivamente, 86 e 144.
Considerando-se as informações apresentadas, pode-se afirmar que o primeiro termo e a razão dessa progressão são, respectivamente,
A) 1 e 12
B) 2 e 6
C) 3 e 4
D) 4 e 3
E) 6 e 2

Resposta

---

B

[Fergos]

Boa noite!
Questão de PG e triângulo, vms lá!

De acordo com o enunciado:

[tex3]a_1 a_3=144[/tex3] e [tex3]s_3 = 86=a_1+a_2+a_3[/tex3]

Assim: [tex3] a_1q=12 [/tex3] e [tex3]86=a_1 +a_1q +a_1q^2[/tex3]

Substituindo uma equação na outra: [tex3]86={12\over q} + 12 +12q[/tex3] ---> [tex3]12q^2 - 74q +12=0[/tex3]
Resolvendo a equação do segundo grau, percebe-se que q=6.
Assim, como [tex3]a_1q=12[/tex3] --> [tex3]a_1=2[/tex3]

Obs: Não nenhuma outro gabarito/resolução falando sobre isso, mas ao achar os termos da progressao geometrica achamos 2,12,72. Entretanto, de acordo com a desigualdade triangular, qualquer lado de um triângulo tem que ser inferior a soma dos outros dois lados, de tal modo que 2+12=14 teria que ser maior do que 72, que é um absurdo. Como isso não impede diretamente a resolução da questão bola pra frente.

Se a resolução não ficou clara, ou vc ainda esta com alguma dúvida, só mandar aqui que respondo,
Fergos.

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia confirmar se a resolução apresentada contempla a referida questão.

[petrasMOD]

Jigsaw,

Chamemos os três lados de:

\[
a, ar, ar^2
\]

onde:
- a é o primeiro termo,
- r é a razão da progressão geométrica.

Também temos as seguintes informações:

1. **A soma dos lados é 86**:

\[
a + ar + ar^2 = 86
\]

Colocando \(a\) em evidência:

\[
a(1 + r + r^2) = 86
\]

2. **O produto do primeiro e do terceiro termo é 144**:

\[
a \cdot ar^2 = a^2 r^2 = 144
\]

Logo:

\[
a^2 r^2 = 144 \Rightarrow (ar)^2 = 144 \Rightarrow ar = 12 \Rightarrow a = \frac{12}{r}
\]

### Substituindo a expressão de (a) na equação da soma:

\[
\frac{12}{r}(1 + r + r^2) = 86
\]

Multiplicando tudo por (r):

\[
12(1 + r + r^2) = 86r
\]

Distribuímos o 12:

\[
12 + 12r + 12r^2 = 86r
\]

Passando tudo para o lado esquerdo:

\[
12r^2 - 74r + 12 = 0
\]

### Resolvendo a equação do 2º grau:


As raízes são:

\[
r = \frac{74 + 70}{24} = \frac{144}{24} = 6
\]

\[
r = \frac{74 - 70}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}
\]

Como os lados são **inteiros**, e a precisa ser inteiro, usamos r = 6:

\[
a = \frac{12}{r} = \frac{12}{6} = 2
\]

Os lados do triângulo são:

\[
2, 2 \cdot 6 = 12, 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 36 = 72
\]

### Confirmando as condições do enunciado:
- Soma: (2 + 12 + 72 = 86)
- Produto do primeiro e do terceiro: (2 . 72 = 144)

### Resposta correta:
**B) 2 e 6**