Ensino Superior ⇒ Tem algum coia com fatoração que nao estou conseguindo perceber nesta questão? Tópico resolvido

[Thas]

Oi gente,

estou com problemas para resolver a seguinte questão, e de uma disciplina de pré-calculo

1 Para x∈R+, x≠1, uma expressão equivalente à fração algébrica

[tex3]\frac{\sqrt{x}-x^2}{1-\sqrt{x}}[/tex3]

é:

a. [tex3]\frac {x (1+x+x^2).(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+x^2}[/tex3]
b.[tex3]\frac {x (1+x^3).(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+x^2}[/tex3]
c.[tex3]\frac {x - x^2+\sqrt{x}}{1+x}[/tex3]
d.[tex3]x^2[/tex3]
e.[tex3]\frac{x+x^4}{1-x}[/tex3]

[LostWalker]

Bem, meio estranho, mais foi

---

[tex3]\frac{\sqrt x-x^2}{1-\sqrt x}\cdot{\color{JungleGreen}\frac{1+\sqrt x}{1+\sqrt x}}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt x-{\color{Purple}x^2})({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt x-{\color{Purple}\sqrt x^4})({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt x(1 - \sqrt x^3)({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]


Aqui, usaremos a transformação:

[tex3]a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]


[tex3]\frac{\sqrt x({\color{NavyBlue}1 - \sqrt x^3})({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt x{\color{NavyBlue}(1-\sqrt x)(1 +\sqrt x+\sqrt x^2})({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]


Veja que:

[tex3]\frac{\sqrt x{\color{Red}\cancel{\color{Black}(1-\sqrt x)}}(1 + \sqrt x+\sqrt x^2){\color{Red}\cancel{\color{Black}(1+\sqrt x)}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}(1- x)}}[/tex3]

[tex3]\sqrt x(1 + \sqrt x+\sqrt x^2)[/tex3]


Mas... parece não ter nada semelhante assim nas contas... vamos então mudar a tática.

Perceba o divisor na alternativa A e B, ele pode ser fatorado a força. Vamos voltar uns passos:

[tex3]{\color{JungleGreen}\frac{\sqrt x+x^2}{\sqrt x+x^2}}\cdot\frac{(\sqrt x- x^2)({1+\sqrt x})}{1-x}[/tex3]

[tex3]\frac{(x- x^4)({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2)(1-x)}[/tex3]


Agora veja que:

[tex3]\frac{({\color{Purple}x- x^4})({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2)(1-x)}[/tex3]

[tex3]\frac{{\color{Purple}x(1- x^3)}({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2)(1-x)}[/tex3]

[tex3]\frac{x{\color{NavyBlue}(1- x^3)}({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2)(1-x)}[/tex3]

[tex3]\frac{x{\color{NavyBlue}{\color{Red}\cancel{\color{NavyBlue}(1- x)}}(1+x+x^3)}({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2){\color{Red}\cancel{\color{NavyBlue}(1- x)}}}[/tex3]

[tex3]\frac{x(1+x+x^3)({1+\sqrt x})}{(\sqrt x+x^2)}[/tex3]


Assim chegamos na Alternativa A.