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6 – Demonstrar que se a equação [tex3]x^3+ax+b=0[/tex3], [tex3]a\neq0[/tex3], [tex3]b\neq0 [/tex3], [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] reais, tiver duas raízes iguais [tex3]a[/tex3] será sempre positivo.

Segundo as Relações de Girard

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Vamos primeiro, arbitrariamente definir [tex3]x_1,x_2[/tex3], sendo que [tex3]x_2[/tex3] é de multiplicidade 2 nessa equação.

Pelas Relações de Girard:

[tex3]2x_2+x_1=0[/tex3]
[tex3]\color{JungleGreen}\boxed{x_1=-2x_2}[/tex3]

[tex3]-a=2{\color{JungleGreen}x_1}x_2+x^2_2[/tex3]
[tex3]-a=-4x_2^2+x^2_2[/tex3]
[tex3]-a=-3x_2^2[/tex3]
[tex3]a=3x^2[/tex3]

Agora um pequeno detalhe, perceba que, como [tex3]b\ne0[/tex3], então [tex3]x_1\ne0[/tex3] e [tex3]x_2\ne0[/tex3], deste modo, temos que, sendo [tex3]x^2_2>0[/tex3], o que nos afirma, pela relação anterior que [tex3]a>0[/tex3]

nota: perceba que não precisamos considerar problemas com raízes complexas, já que, como os coeficientes são reais, então, no caso de haverem duas raízes complexas iguais, seriam necessárias pelo menos mais duas para que todos os coeficientes fossem reais segundo o Teorema das Raízes Complexas