ITA 1960 ⇒ Questão 10 - ITA-1960 Tópico resolvido

[JigsawMOD]

10 – Chamemos alturas de um tetraedro às perpendiculares baixadas dos vértices sobre os planos das faces opostas. Prove que se duas alturas de um tetraedro se encontram, as outras duas alturas também se encontram.

Resposta

---

S/ GAB

[petrasMOD]

Digamos que A,B,C,D são os vértices do tetraedro e AA', BB', CC', DD' são suas alturas. O ponto é que essas retas se projetam perpendicularmente aos lados dos triangulos das faces.

Mais precisamente:
Seja H sobre o lado BC de forma que a reta AH é a projeção de AA' sobre o plano da face ABC. Então AH é a altura do triangulo ABC.

Sabendo disso fica fácil: Digamos AA' e BB' se encontram em algum ponto. Pela observação acima, isso significa que a projeção de AB sobre o plano ACD está contida na altura do triangulo ACD. Isto é, as retas AB e CD são ortogonais.

Logo, a projeção de CD sobre a face CAB se encontra na altura do triangulo CAB. Portanto CC' e DD' também possuem interseção não vazia.
(Solução:Daoseek)

[FelipeMartinMOD]

petras, acho que a segunda solução está errada e a primeira está escrita de maneira um pouco sintética demais. Suponho que na primeira as projeções de [tex3]CC'[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] no plano [tex3]ABC[/tex3] coincidam.

[FelipeMartinMOD]

Estou estudando espacial e vou tentar fazer sem projeções:

Seja [tex3]ABCD[/tex3] o nosso tetraedro.
Vou denotar o plano formado pelos pontos [tex3]XYZ[/tex3] por [tex3](XYZ)[/tex3].
Sejam [tex3]\alpha = (BCD), \beta = (ACD), \gamma = (ABD)[/tex3] e [tex3]\delta = (ABC)[/tex3].
Sejam [tex3]a[/tex3] a altura de [tex3]A[/tex3] a [tex3]\alpha[/tex3], [tex3]b[/tex3] a altura de [tex3]B[/tex3] a [tex3]\beta[/tex3] e analogamente [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] as alturas de [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3].

Digamos que [tex3]a \cap b = H[/tex3], queremos provar que [tex3]c \cap d \neq \emptyset[/tex3].

Como [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] concorrem em [tex3]H[/tex3], elas definem um plano [tex3]\omega[/tex3].
Como [tex3]a \in \omega[/tex3] e [tex3]a \perp \alpha \implies \omega \perp \alpha[/tex3].
Como [tex3]b \in \omega[/tex3] e [tex3]b \perp \beta \implies \omega \perp \beta[/tex3].
Como [tex3]\alpha \cap \beta = \overline{DC}[/tex3], [tex3]\omega \cap \alpha \neq \emptyset[/tex3] e [tex3]\omega \cap \beta \neq \emptyset[/tex3], então, os planos [tex3]\alpha, \beta[/tex3] e [tex3]\omega[/tex3] se encontram em um ponto [tex3]Q \in DC[/tex3] formando um triedro em [tex3]Q[/tex3]. Como [tex3]\omega[/tex3] é perpendicular aos planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3], ele é perpendicular à reta [tex3]DC = \alpha \cap \beta[/tex3], de forma que [tex3]AQ \perp DC[/tex3] e [tex3]BQ \perp DC[/tex3].

Veja que interessante: dados três pontos não colineares [tex3]B,C[/tex3] e [tex3]D[/tex3], uma condição necessária para que a altura do tetraedro [tex3]ABCD[/tex3] por [tex3]A[/tex3] concorra com a altura por [tex3]B[/tex3] é que o ponto [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] estejam situados em um plano [tex3]\omega \perp CD[/tex3]. Vou mostrar que essa condição é suficiente.

Dados os pontos [tex3]B,C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] não colineares, trace no plano [tex3]\alpha =(BCD)[/tex3] a reta por [tex3]B[/tex3] perpendicular a [tex3]CD[/tex3] em [tex3]Q[/tex3]. Seja [tex3]\omega[/tex3] o plano perpendicular ao plano [tex3]\alpha[/tex3] que contém a reta [tex3]BQ[/tex3] e seja [tex3]A \in \omega, A \notin \alpha[/tex3], vamos ver que a altura [tex3]a[/tex3] de [tex3]A[/tex3] em [tex3]\alpha[/tex3] concorre com a altura [tex3]b[/tex3] de [tex3]B[/tex3] em [tex3]\beta = (ACD)[/tex3].
Notamos que [tex3]a[/tex3] é uma reta perpendicular a [tex3]\alpha[/tex3] que cruza [tex3]\omega \perp \alpha[/tex3] no ponto [tex3]A[/tex3]. Isso implica que [tex3]a \subset \omega[/tex3]. Agora notamos que [tex3]BQ \perp CD[/tex3] está contida em [tex3]\omega[/tex3] e, como [tex3]\omega \perp \alpha[/tex3], temos que a reta [tex3]CD[/tex3] é perpendicular a [tex3]\omega[/tex3] por ser perpendicular a [tex3]BQ[/tex3], que é a reta de interseção dos dois planos (teorema 42 do livro de espacial do Gelson Iezzi).
Isso significa que o plano [tex3]\beta[/tex3] contém uma reta [tex3]DC[/tex3] perpendicular ao plano [tex3]\omega[/tex3], logo, [tex3]\beta \perp \omega[/tex3]. Agora veja que [tex3]\beta \cap \alpha = CD, \alpha \cap \omega = BQ[/tex3] , logo, [tex3]\alpha \cap \beta \cap \omega = BQ \cap CD = \{Q\} \implies Q \in \beta \implies \beta \cap \omega = AQ[/tex3], agora meio que acabou seja [tex3]b' \subset \omega[/tex3] tal que [tex3]b' \perp AQ[/tex3] e [tex3]B \in b'[/tex3], pelo teorema 42, como [tex3]b'[/tex3] é perpendicular à interseção [tex3]\omega \cap \beta \implies b' \perp \beta[/tex3]. Como por um ponto só há uma reta perpendicular a um certo plano, [tex3]b=b'[/tex3] e então [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são coplanares e se encontram no ortocentro do [tex3]\triangle AQB[/tex3], que sempre existe, logo, são concorrentes.

Essa prova nos dá um critério simples para provarmos que as alturas de [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] concorrem. Basta mostrar que [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estão num plano perpendicular à reta [tex3]AB[/tex3].

Seja então [tex3]\theta[/tex3] o plano perpendicular à reta [tex3]AB[/tex3] que passa por [tex3]C[/tex3].
Como [tex3]AB \subset \omega[/tex3] e [tex3]AB \perp \theta \implies \omega \perp \theta[/tex3].
Como [tex3]CD \perp \omega [/tex3] e [tex3]CD \cap \theta = C[/tex3], temos que [tex3]CD \subset \theta[/tex3] (ex 85 do Gelson Iezzi de geometria espacial). Então, [tex3]CD[/tex3] está num plano perpendicular a [tex3]AB[/tex3], logo, as alturas por [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] concorrem.