Concursos Públicos ⇒ (DECEx/EsPCEx/2021)-GA-circunferência Tópico resolvido

[Pdalindão]

(DECEx/EsPCEx/2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (𝟏, −𝟏) e é tangente à reta de
equação [tex3]𝒚 = \frac{3x}{4} + 𝟐[/tex3]tem equação dada por:

Resposta

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𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎

Na solução que eu olhei, a pessoa fez utilizando a distância entre o ponto (centro da circunferência) e a reta dada. Achei coerente e bem mais rápido do que o método que eu pensei inicialmente.

Porém eu tive uma ideia diferente, que não bateu com o gabarito. Antes de mostrar a minha solução com cálculos, gostaria somente de saber se a minha ideia está correta (já que se não estiver, os cálculos não adiantarão de nada). E se a ideia estiver correta, tentarei identificar o erro nos cálculos por conta própria, retornando aqui caso eu não consiga.

A ideia é foi a seguinte:

1.Sabendo que a tangente é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de contato, encontrei uma reta, perpendicular a reta do enunciado, que passa pelo centro da circunferencia (1,-1). Ou seja peguei o m=-4/3 e utilizei na equação y+1=-3/4(x-1).

2. Deixei a equação encontrada na forma: y=mx+k, e substituí esse Y na equação da circunferência que passa pelo ponto (1,-1). Como não temos o valor do raio(R), ficamos com uma equação do segundo grau onde o coeficiente C é um valor numérico menos o raio(R).

3. Como a circunferência tangencia a reta, então a solução dessa equação possui somente uma solução , o que implica que delta é igual a zero.

4. Sabendo disso, substituí os coeficientes da equação do segundo grau na fórmula do delta e igualei a zero, ficando com uma equação do primeiro grau em função de R.

5. Resolvi a equação encontrando o R. Porém o resultado de R deu uma fração. E o R encontrado utilizando a fórmula da distancia do ponto a reta, dá um valor inteiro.

6. Encontrando R fica fácil, é só substituir na equação da circunferência que tem o centro (1,-1) conforme o enunciado.

[petrasMOD]

Pdalindão,

Procure sempre o mais simples..

Sua equação da reta perpendicular já está errada no item 1. Deveria ser[tex3] y = -\frac{4x}{3}+\frac{1}{3}[/tex3]
A circunferência não passa pelo ponto(1,-1). (1.-1) é o centro da circunferência