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Determine os valores maximos e mınimos locais e pontos de sela da
funcao f(x, y) = x^(3)y + 12x^2 − 8y.

Anônimo123,

[tex3]f(x,y)=x^3y+12x^2-8y \Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2y+24x[/tex3], [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x^3-8.[/tex3]

Para achar os pontos críticos, fazemos [tex3]x^3-8=0[/tex3] e [tex3]3x^2y+24x=0.[/tex3] Assim, [tex3]x=2[/tex3] e [tex3]3 \times 2y+24=0 \Longrightarrow y=-4.[/tex3] Ou seja, o único ponto crítico é em x=2 e y=-4.

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0[/tex3], [tex3]\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=3x^2 \Longrightarrow \left. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(2, -4)}=12.[/tex3]

[tex3]D(x,y)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}\right)^2 \Longrightarrow D(2,-4)=-144.[/tex3]

Como [tex3]D(2,-4)<0[/tex3], o ponto crítico em questão é um ponto de sela.