Concursos Públicos ⇒ (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018)-quadriláteros Tópico resolvido

[Pdalindão]

(CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Em um retângulo de lados PQ = 12 cm e QR = 9 cm, os pontos T e U
dividem a diagonal em três segmentos iguais, como ilustrado na Figura abaixo. A área do quadrilátero STQU, em cm², é igual a
A) 108
B) 72
C) 54
D) 48
E) 36

Resposta

---

Letra E

[παθμ]

Pdalindão,

Como [tex3]UR[/tex3] é 1/3 da diagonal, temos, por semelhança de triângulos/proporcionalidade, que ele está a a uma distância [tex3]\frac{9}{3}=3[/tex3] da base e a uma distância [tex3]\frac{12}{3}=4[/tex3] do lado direito. De modo semelhante, o ponto T está a uma distância [tex3]3[/tex3] do lado superior e [tex3]4[/tex3] do lado esquerdo.

Os triângulos SUR e TPQ têm área [tex3]\frac{12 \times 3}{2}=18[/tex3], e os triângulos QUR e TPS têm área [tex3]\frac{9 \times 4}{2}=18.[/tex3]

A soma das áreas desses quatro triângulos é então [tex3]72,[/tex3] além de que a área do retângulo é [tex3]12 \times 9=108.[/tex3]

Logo, a área pedida é [tex3]108-72=\boxed{36}[/tex3]

Alternativa E

[Pdalindão]

[quote=παθμ post_id=294868 time=1697401917 user_id=29893]
Pdalindão,

Como [tex3]UR[/tex3] é 1/3 da diagonal, temos, por semelhança de triângulos/proporcionalidade, que ele está a a uma distância [tex3]\frac{9}{3}=3[/tex3] da base

Olá. Você pode me explicar melhor essa parte? Quais triângulos são semelhantes, o motivo e como você concluiu que a distância é um terço??
Quando eu fiz eu buguei justamente nisso (encontrar a altura dos triângulos)

[παθμ]

Pdalindão,

Para encontrar, por exemplo, a distância de U ao lado direito:

Screenshot 2023-10-15 174731.png (108.79 KiB) Exibido 1066 vezes

Seja [tex3]d[/tex3] a diagonal do retângulo. Fazendo a semelhança dos triânglos PQR e UZR:

[tex3]\frac{d}{12}=\frac{d/3}{x} \Longrightarrow x=4.[/tex3]

Raciocínios análogos foram usados para encontrar as outras três alturas.

É que no geral, se andando uma distância [tex3]d[/tex3] ao longo da diagonal [tex3]RP[/tex3] você se afasta [tex3]12 \; \text{cm}[/tex3] do lado esquerdo, isso significa que se você andar [tex3]d/3[/tex3] você se afasta [tex3]\frac{12}{3}=4 \; \text{cm},[/tex3] entende? É uma proporcionalidade.

[Pdalindão]

Pdalindão,

Para encontrar, por exemplo, a distância de U ao lado direito:

Screenshot 2023-10-15 174731.png

Seja [tex3]d[/tex3] a diagonal do retângulo. Fazendo a semelhança dos triânglos PQR e UZR:

[tex3]\frac{d}{12}=\frac{d/3}{x} \Longrightarrow x=4.[/tex3]

Raciocínios análogos foram usados para encontrar as outras três alturas.

É que no geral, se andando uma distância [tex3]d[/tex3] ao longo da diagonal [tex3]RP[/tex3] você se afasta [tex3]12 \; \text{cm}[/tex3] do lado esquerdo, isso significa que se você andar [tex3]d/3[/tex3] você se afasta [tex3]\frac{12}{3}=4 \; \text{cm},[/tex3] entende? É uma proporcionalidade.

ENTENDI PERFEITAMENTE. MINHA DÚVIDA ERA SÓ ACHAR A ALTURA MESMO, NÃO TINHA PASSADO PELA MINHA MENTE CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETANGULO ONDE O CATETO ERA A PRÓPRIA ALTURA. FAZ TOTAL SENTIDO. MUITO OBRIGADO MANO!