IME / ITA ⇒ (ITA - 1975) Equação Exponencial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A respeito da equação exponencial [tex3]4^x+6^x=9^x[/tex3] podemos afirmar que:

a) [tex3]x=9log_{10} \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz.
b) [tex3]x=[log_{10} \left(\frac{3}{2}\right)]^{-1}.log_{10} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz.
c) [tex3]x=[log_{10} \left(\frac{3}{2}\right)]^{-1}.log_{10} \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz.
d) [tex3]x=[log_{10} \left(\frac{3}{2}\right)]^{-1}.log_{10} \left(\frac{1+\sqrt{6}}{2}\right)[/tex3] é uma raiz.
e) nenhuma das alternativas anteriores.

[Thadeu]

Dividindo todos os termos por [tex3]6^x[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{4^x}{6^x}+\frac{6^x}{6^x}=\frac{9^x}{6^x}\,\Rightarrow\,\(\frac{2}{3}\)^x+1=\(\frac{3}{2}\)^x[/tex3]

Fazendo [tex3]\(\frac{3}{2}\)^x=y[/tex3]

[tex3]\frac{1}{y}+1=y\,\Rightarrow\,y^2-y-1=0\\\Delta=5\,\Rightarrow\,y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Como y deve ser positivo, [tex3]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3] não serve, então:

[tex3]\(\frac{3}{2}\)^x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,\Rightarrow\,log\,\(\frac{3}{2}\)^x=log\,\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\,\Rightarrow\,xlog\,\(\frac{3}{2}\)=log\,\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\,\Rightarrow\,x=\frac{log\,\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)}{log\,\(\frac{3}{2}\)}\\\Rightarrow\,x=log\,\(\frac{3}{2}\)^{-1}.log\,\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)[/tex3]

resp b