Ensino Médio ⇒ Determine o domínio das funções dada abaixo. Tópico resolvido

[gustavo5573]

Ajuda por favorrrrrr

45. Determine o dominio das funções dadas abaixo:

a) [tex3]f(x)=\sqrt{x(x^{2}-1)}[/tex3]

b) [tex3]f(x)=\sqrt{(9x^{2}-9)(x^{2}+2x)}[/tex3]

[petrasMOD]

gustavo5573,

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[JigsawMOD]

petras, REDIGITEI o enunciado da questão caso alguém queira efetuar a sua resolução.

[petrasMOD]

Jigsaw,

O domínio de uma função é o conjunto de valores de \( x \) para os quais a função está definida. Como ambas as funções envolvem raízes quadradas, devemos garantir que as expressões dentro das raízes sejam **não negativas** (pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais).

Item (a):

\[
x(x^2 - 1) \geq 0
\]

Fatoramos:

\[
x(x - 1)(x + 1) \geq 0
\]

Agora, encontramos as raízes:

\[
x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1
\]

Para resolver ( x(x - 1)(x + 1) [tex3]\geq[/tex3] 0 ), fazemos o estudo do sinal:

- Os fatores (x), ( x - 1 ) e ( x + 1 ) mudam de sinal nas raízes ( x = -1, 0, 1 ).
- Analisamos os intervalos determinados pelas raízes e observamos o sinal do produto em cada intervalo:

Intervalo	( x )	( x - 1 )	( x + 1 )	Produto ( x(x - 1)(x + 1) )
(-[tex3]\infty[/tex3], -1)	-	-	0	**Negativo**
(-1, 0)	-	-	+	**Positivo**
(0, 1)	+	-	+	**Negativo**
(1, [tex3]\infty[/tex3])	+	+	+	**Positivo**

Portanto:

\[
[-1,0] \cup [1, \infty)
\]

Item b:

\[
(9x^2 - 9)(x^2 + 2x) \geq 0
\]

Encontrar as raízes
1. **Primeiro fator:**

\[
9x^2 - 9 = 9(x^2 - 1) = 9(x - 1)(x + 1)
\]

Raízes: ( x = [tex3]\pm[/tex3] 1 ).

2. **Segundo fator:**

\[
x^2 + 2x = x(x + 2)
\]

Raízes: ( x = 0 \) e \( x = -2 ).

Então, temos as raízes ( x = -2, -1, 0, 1 ).

Estudo do sinal
Analisamos o sinal do produto ( (9(x - 1)(x + 1))(x(x + 2)) ) nos intervalos determinados pelas raízes:

Intervalo	( x - 1 )	( x + 1 )	( x )	( x + 2 )	Produto
(-[tex3]\infty[/tex3], -2)	-	-	-	-	**Negativo**
(-2, -1)	-	-	-	+	**Positivo**
(-1, 0)	-	+	-	+	**Negativo**
(0,1)	-	+	+	+	**Positivo**
(1, [tex3]\infty[/tex3])	+	+	+	+	**Positivo**

Portanto:

\[
[-2, -1] \cup [0, \infty)
\]