IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Função Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O conjunto dos valores de [tex3]k[/tex3], para os quais [tex3]f(x)=x^3-2x^2+3x-k[/tex3] tem um ou três zeros reais entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]2[/tex3], é:

a) [tex3]k < 2[/tex3].
b) [tex3]1 < k < 2[/tex3].
c) [tex3]2 > k[/tex3] ou [tex3]k > 6[/tex3].
d) [tex3]k > 7[/tex3].
e) nenhuma das respostas anteriores.

[John]

Para que [tex3]f[/tex3] tenha uma raiz ou três raizes no intervalo [tex3][1,2][/tex3], devemos ter a seguinte condição:

[tex3]f(1)f(2) < 0[/tex3],

ou seja,

[tex3](2 - k)(6 - k) < 0[/tex3].

Logo [tex3]2 < k < 6[/tex3].

Alternativa E.

[Natan]

Poderia me demonstrar essa condição?

[John]

Suponha que [tex3]f(1)>0[/tex3].

Se houver uma única raíz no intervalo [tex3][1,2][/tex3], digamos em [tex3]x_0 \in [1,2][/tex3], o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] deve interceptar o eixo 0x somente no ponto [tex3]x_0[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] varia de 1 à 2. Como uma função polinomial é contínua, devemos ter [tex3]f(x) > 0[/tex3] se [tex3]1 \leq x < x_0[/tex3] e [tex3]f(x) < 0[/tex3] para [tex3]x_0 < x \leq 2[/tex3].

Se houver três raizes o raciocínio é análogo.