Estude! Com Prof. Caju

Um contra-exemplo para a proposição ∀z∃x∃y(z − x²y² > 0), onde x, y e z pertencem ao conjunto dos números inteiros, é:

a) z = 0, y = 1 e x = 1;
b) Não existem contra-exemplos, pois a proposição é verdadeira;
c) z = 2;
d) z = −1;
e) x = 2 e y = −2.

Qual seria o gabarito? Fiquei em dúvida na letra A e letra D

eulercruz458, a proposição é: Para todo [tex3]z[/tex3] inteiro, existem inteiros [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]z-x^2y^2>0,[/tex3] ou seja, [tex3](xy)^2 < z.[/tex3]

Para [tex3]z=-1,[/tex3] a inequação é [tex3](xy)^2<-1.[/tex3] Mas não há como o quadrado de um número real ser negativo. Portanto, a proposição não é verdadeira para [tex3]z=-1.[/tex3] Encontramos um contra-exemplo.

Alternativa D

eulercruz458 escreveu: 21 Jan 2024, 14:19 Qual seria o gabarito? Fiquei em dúvida na letra A e letra D

A letra A não faz sentido. Um contra-exemplo consiste apenas em um valor para [tex3]z.[/tex3] Por exemplo, se a letra a) fosse apenas z=0, seria sim um contra-exemplo, pois teríamos [tex3](xy)^2<0,[/tex3] o que também não é satisfeito por nenhum x e y reais. Mas o fato da letra a) também dar valores para x e para y faz ela perder o sentido. Acredito que esse seja o motivo dela estar errada.

Realmente, esses valores de x e y ficou muito esquisito, obrigado pela resposta!!