Ensino Superior ⇒ Convergência ou divergência por teste de comparação Tópico resolvido

[DudaS]

Estabeleça a convergência ou divergência das seguintes séries usando o teste de comparação:
a) [tex3]\sum\frac{1}{(ln(n))^n}[/tex3]
b) [tex3]\sum\frac{1}{n^
{ln(n)}}[/tex3]
c) [tex3]\sum\frac{(2n+3)^n}{n^{2n}}[/tex3]
d) [tex3]\sum(\frac{n}{n+1})^{{n}^2}[/tex3]
e) [tex3]\sum\frac{n+1}{n^2-n}[/tex3]
Fiquei com dúvida em achar as desigualdades para o teste de comparação. Na e) eu usei o teste de comparação de limites, não consegui pensar em uma desigualdade. Se puderem me passar algum macete ou lógica pra esse tipo de questão seria bom demais. Agradeço a ajuda!

Resposta

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a) C
b) C
c) C
d) C
e) D

[FelipeMartinMOD]

na letra "e" você deve pensar no grau da fração equivalente.
Pegue o maior grau do numerador: n
Pegue o maior grau do denominador: n²
a razão é 1/n, então, dá pra comparar essa série com alguma do tipo [tex3]\sum \frac1n[/tex3], logo, ela diverge.

Rigorosamente: [tex3]\sum \frac{n+1}{n^2-n} > \sum \frac{n}{n^2-n} = \sum \frac1{n-1} \to \infty[/tex3]

letra a (a mais difícil)

[tex3](\ln(n))^n = e^{n \ln(\ln(n))} \geq e^n[/tex3] (para [tex3]n >e^e[/tex3], obviamente)
Pronto:
[tex3]\frac1{(\ln(n)^n)} \leq \frac1{e^n} [/tex3]
e a soma exponencial infinita ali converge, logo, [tex3]\sum \frac1{\ln(n)^n}[/tex3] converge.

Fico te devendo as demais.

[DudaS]

FelipeMartin, entendi. Muito obrigada! Mas por que no final da b) ficou
[tex3]\frac{1}{n^{ln(n)}}<\frac{1}{ln(n)^n}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

DudaS, a b estava errada, acabei apagando ela. Percebi que ficou uma gororoba sem sentido.

Ela é mais fácil do que eu pensava:

[tex3]2<\ln (n)[/tex3] para [tex3]n \geq 9[/tex3].

[tex3]n^2 < n^{\ln(n)} \implies \frac1{n^{\ln(n)}} < \frac1{n^2}[/tex3]

então, converge.

EDIT: aliás, eu editei minha resposta original, agora está mais clara.

[DudaS]

FelipeMartin, Entendii, valeu demais!

[FelipeMartinMOD]

letra c:
[tex3]\sum\frac{(2n+3)^n}{n^{2n}} < \sum\frac{(2n+3n)^n}{n^{2n}} = \sum\frac{(5n)^n}{n^{2n}} = \sum(\frac{5}{n})^n[/tex3] (converge pelo teste da raíz)
pode-se comparar com [tex3](\frac12)^n[/tex3] para [tex3]n >10[/tex3] também.

letra d:
[tex3]\sum(\frac{n}{n+1})^{{n}^2}[/tex3] diverge pelo teste da raíz.

[DudaS]

FelipeMartin, Entendi, muito obg! Mas na d) eu aplico o teste da razão direto?

[FelipeMartinMOD]

DudaS, se não é você pra apontar essas coisas, eu posto tudo errado hehehehe obrigado! É o teste da raíz e não o da razão. Já editei.

O certo seria fazer comparação (por conta do espírito do exercício), eu só postei esse remendo de solução pra deixar o tópico completo pra quem for de fora e tiver curiosidade de saber como resolve.

[DudaS]

FelipeMartin, hahaha, entendi, muito obgg!!