Ensino Médio ⇒ Método das massas de pontos para resolver questões do teorema de Ceva

[FelipeMartinMOD]

Um problema usual de geometria é o seguinte: Dados um [tex3]\triangle ABC[/tex3], um ponto [tex3]G[/tex3] em seu interior, produzem-se os pontos [tex3]D = AG \cap BC, E = BG \cap AC[/tex3] e [tex3]F = CG \cap AB[/tex3] e, se forem conhecidos os tamanhos [tex3]d_2 = BF, d_3 = BD, d_4 = DC, d_5 = CE[/tex3] e [tex3]d_6 = EA[/tex3], encontre [tex3]d_1 = AF[/tex3].

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O jeito mais usual de se resolver este problema é através da aplicação direta do famoso teorema de Ceva. Há porém um método mais físico de se obter a resposta, que é o seguinte: Atribui-sem massas aos pontos [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] de forma que o segmento [tex3]AB[/tex3] esteja em equilíbrio dinâmico em relação ao ponto [tex3]F[/tex3], ou seja, [tex3]m_A \cdot d_1 = m_B \cdot d_2[/tex3] (fórmula da física, assumindo o sistema em equilíbrio pela ação dos pesos dos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]); neste caso temos [tex3]m_F = m_A+m_B[/tex3] pois [tex3]F[/tex3] é centro de massa de [tex3]AB[/tex3], analogamente, temos [tex3]m_G = m_F + m_C \implies m_G = m_A+m_B+m_C[/tex3] ([tex3]G[/tex3] é centro de massa do [tex3]\triangle ABC[/tex3]).

Vejamos o seguinte exemplo prático:

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Vamos atribuir massas a [tex3]B[/tex3] e [tex3]A[/tex3] de forma que [tex3]E[/tex3] seja ponto de equilíbrio do segmento [tex3]AB[/tex3], ou seja:

[tex3]m_B \cdot 2 = m_A \cdot 5[/tex3]

a escolha mais natural é atribuir [tex3]m_B = 5[/tex3], donde [tex3]m_A = 2[/tex3]. Quem deverá ser [tex3]m_C[/tex3]? Façamos [tex3]F[/tex3] ser ponto de equilíbrio de [tex3]BC[/tex3]:

[tex3]5 \cdot 3 = m_C \cdot 6 \implies m_C = \frac 52[/tex3]

Pronto! Para que [tex3]AC[/tex3] esteja em equilíbrio em [tex3]D[/tex3]: [tex3]2 \cdot x = 4 \cdot \frac 52 \implies x=5[/tex3].