Física I ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica de partículas Tópico resolvido

[παθμ]

Três corpos de massas [tex3]m_1, \; \; m_2, \; \; m_3[/tex3] formam pontos de um triângulo equilátero e se atraem de acordo com a lei de Newton. Determine o movimento rotacional que mantém a posição relativa entre estes corpos constante.

Dado: [tex3]\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})=(\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B}-(\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C}.[/tex3]

[παθμ]

Solução:

Considere o centro de massa do sistema como a origem, e seja [tex3]\vec{r}_i[/tex3] o vetor posição da i-ésima massa, e [tex3]l[/tex3] o lado do triângulo.

Então a força que age, por exemplo, na massa 1, é [tex3]\vec{F}_1=\frac{Gm_1}{l^3}\left(m_2\vec{r}_{12}+m_3\vec{r}_{13}\right),[/tex3] onde [tex3]\vec{r}{ij}[/tex3] é o vetor distância que vai da massa i à massa j.

Mas temos [tex3]\vec{r}_{ij}=\vec{r}_j-\vec{r}_i.[/tex3] Inserindo esse resultado:

[tex3]\vec{F}_1=\frac{Gm_1}{l^3}\left(m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3-(m_2+m_3)\vec{r}_1\right).[/tex3]

Além disso, como a origem foi escolhida como o centro de massa, nós devemos ter [tex3]m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+m_3\vec{r_3}=0 \Longrightarrow m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3=-m_1\vec{r}_1. [/tex3] Inserindo esse resultado:

[tex3]\vec{F}_1=-\frac{Gm_1}{l^3}(m_1+m_2+m_3)\vec{r}_1.[/tex3]

De modo geral, podemos obter [tex3]\vec{F}_i=-\frac{Gm_i}{l^3}(m_1+m_2+m_3)\vec{r}_i \Longrightarrow \vec{a}_i=-\frac{G(m_1+m_2+m_3)}{l^3}\vec{r}_i.[/tex3]

Então as acelerações de todas as massas apontam para o centro de massa, sendo a razão entre a aceleração e a distância igual para todas. Então é possível que o sistema rotacione em torno do centro de massa como um corpo rígido, com velocidade angular [tex3]\omega=\sqrt{\frac{a}{r}}=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2+m_3)}{l^3}}.[/tex3]

Obs: Esse problema é uma versão mais fácil da IPhO 1989 T2.