IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2001) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[fgarcia_84]

Na figura abaixo, o ponto [tex3]P[/tex3] do menor arco [tex3]AB[/tex3] dista [tex3]6\text{cm}[/tex3] e [tex3]10\text{cm},[/tex3] respectivamente, das tangentes [tex3]AQ[/tex3] e [tex3]BQ.[/tex3] A distância, em [tex3]\text{cm},[/tex3] do ponto [tex3]P[/tex3] à corda [tex3]AB[/tex3] é igual a:

• 

  AE12.png (7.23 KiB) Exibido 4329 vezes

a) [tex3]\sqrt{30}[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{15}[/tex3]
c) [tex3]16[/tex3]
d) [tex3]18[/tex3]
e) [tex3]6\sqrt{10}[/tex3]

[Diego996]

• 

  AE13.png (17.35 KiB) Exibido 4316 vezes

[tex3]\triangle PAH\sim \triangle PBS:[/tex3]

• [tex3]\frac{\overline{PH}}{10}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}[/tex3]

[tex3]\triangle PAR\sim \triangle PBH:[/tex3]

• [tex3]\frac{6}{\overline{PH}}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}[/tex3]

Logo,

• [tex3]\frac{\overline{PH}}{10}=\frac{6}{\overline{PH}}\Longrightarrow \overline{PH}^2=60\Longrightarrow \overline{PH}=2\sqrt{15}.[/tex3]

[PréIteano]

Não é tão trivial notar esses ângulos iguais.
Pra entender porque o são, ligue o ponto O ao ponto P e perceba que o ângulo AÔP vale [tex3]2\theta[/tex3] e enxerga o mesmo arco visto a partir de B. Mas esse ângulo vale a metade daquele. Daí você percebe as semelhanças.