IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 2000) Equação Modular Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dada a equação [tex3]|2x-3|+|x|-5=0[/tex3], a soma de todas as suas soluções é igual a

[tex3]\boxed{A}[/tex3] [tex3]3[/tex3].
[tex3]\boxed{B}[/tex3] [tex3]\frac{8}{3}[/tex3].
[tex3]\boxed{C}[/tex3] [tex3]2[/tex3].
[tex3]\boxed{D}[/tex3] [tex3]\frac{4}{3}[/tex3].
[tex3]\boxed{E}[/tex3] [tex3]\frac{2}{3}[/tex3].

[triplebig]

Raízes: [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]0[/tex3]

p/ [tex3]x\geq\frac{3}{2}[/tex3] :

[tex3]2x-3+x-5=0\;\therefore\;x=\frac{8}{3}[/tex3]

p/ [tex3]0\leq x<\frac{3}{2}[/tex3] :

[tex3]3-2x+x-5=0\;\therefore\;x=-2\;\text{ (impossível)}[/tex3]

p/ [tex3]x<0[/tex3] :

[tex3]3-2x-x-5=0\;\therefore\;x=-\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]S=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2[/tex3]

[PedroCosta]

Raízes: [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]0[/tex3]

p/ [tex3]x\geq\frac{3}{2}[/tex3] :

[tex3]2x-3+x-5=0\;\therefore\;x=\frac{8}{3}[/tex3]

p/ [tex3]0\leq x<\frac{3}{2}[/tex3] :

[tex3]3-2x+x-5=0\;\therefore\;x=-2\;\text{ (impossivel)}[/tex3]

p/ [tex3]x<0[/tex3] :

[tex3]3-2x-x-5=0\;\therefore\;x=-\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]S=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2[/tex3]

O valor x = -2 foi desconsiderado pelo fato de que [tex3]0\leq x<3/2[/tex3]?

[triplebig]

Sim, a equação [tex3]2x-3+x-5=0[/tex3] só é válida para [tex3]0 \leq x \lt \frac{3}{2}[/tex3]

Se o valor de [tex3]x[/tex3] estiver fora desse intervalo, um dos dois termos [tex3]2x-3[/tex3] e [tex3]x[/tex3] serão negativos. Aí a equação resultate não será equivalente à equação com os módulos.

[Mfreitas]

Eu só não entendi como vc achou as raízes, tendo em vista o 5 ''atrapalhando" .

[PedroCosta]

Eu só não entendi como vc achou as raízes, tendo em vista o 5 ''atrapalhando" .

Mfreitas, não se trata de uma equação qualquer. É uma equação modular:
[tex3]|2x-3|\begin{cases}
2x-3, \text{se}\ x\geq \frac{3}{2} \\
3-2x, \text{se}\ x< \frac{3}{2}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]|x|\begin{cases}
x, \text{se}\ x\geq 0 \\
-x, \text{se}\ x< 0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3/2\\
|2x-3| \ \ 3-2x\ \ | \ \ 3-2x\ \ | \ \ \ 2x-3\ \ \| \ \\
|x| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x\ \ \ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ \ \ x\ \ \ \ \ | \ \ \ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|\\
S \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3-3x\ \ | \ \ 3-x\ \ \ \ | \ \ \ 3x-3\ \ \| \ \\[/tex3]
Com a tabela acima é só proceder como o triplebig. Observando os intervalos da solução.