Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletrodinâmica Tópico resolvido

[παθμ]

Quando um capacitor é imerso em um meio de constante dielétrico [tex3]\epsilon[/tex3] e condutividade [tex3]g,[/tex3] uma resistência [tex3]R[/tex3] é medida entre os seus terminais.

Mostre que independente da geometria das placas do capacitor teremos o valor de [tex3]RC=\frac{\epsilon}{g}[/tex3] onde [tex3]C[/tex3] é a capacitância do capacitor no meio.

[παθμ]

Solução:

Obs: [tex3]\epsilon[/tex3] é a permissividade do meio, não a constante dielétrica.

A corrente que vai de uma placa à outra é [tex3]I=\oint \vec{J} \cdot d\vec{A},[/tex3] onde a integral é feita ao longo de qualquer superfície fechada que contém a placa positiva.

Como [tex3]\vec{J}= g \vec{E},[/tex3] temos [tex3]I=g \oint\vec{E} \cdot d\vec{A}.[/tex3]

Mas como [tex3]\oint\vec{D} \cdot d\vec{A}=Q,[/tex3] onde [tex3]\vec{D}=\epsilon \vec{E}[/tex3] é o deslocamento elétrico, temos [tex3]\oint \vec{E} \cdot d\vec{A}=\frac{Q}{\epsilon},[/tex3] daí que [tex3]I=\frac{gQ}{\epsilon} \Longrightarrow \frac{Q}{I}=\frac{\epsilon}{g} \Longrightarrow \frac{Q/V}{I/V}=\frac{\epsilon}{g}.[/tex3]

Identificando [tex3]\frac{Q}{V}=C[/tex3] e [tex3]\frac{I}{V}=\frac{1}{R},[/tex3] obtemos [tex3]\boxed{RC=\frac{\epsilon}{g}}[/tex3]