Ensino Médio ⇒ questão do livro Problemas sem Problemas Tópico resolvido

[estudante103]

ABCDE é um pentágono convexo cujos lados ae e bc sao paralelos e no qual c-a=40 e d-b=30. Calcule a medida do angulo interno E desse polígono.

[petrasMOD]

@estudante103,

Soma dos Ângulos Internos de um pentágono (n=5): [tex3]S = (n - 2) \cdot 180^\circ = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \therefore A + B + C + D + E = 540^\circ[/tex3]
O enunciado afirma que os lados AE e BC são paralelos.Imagine prolongar esses lados. Os ângulos internos A e B do pentágono são ângulos colaterais internos em relação a essas paralelas.Na geometria plana, quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, a soma dos ângulos colaterais internos é sempre [tex3]180^\circ.[/tex3]Logo, temos a primeira equação importante:[tex3]A + B = 180^\circ[/tex3]
Sabemos que [tex3]C - A = 40^\circ \implies C = A + 40^\circ :D - B = 30^\circ \implies D = B + 30^\circ[/tex3]
Substituindo C e D na fórmula da soma total ([tex3]40^\circ):A + B + (A + 40^\circ) + (B + 30^\circ) + E = 540^\circ\\\\(A + B) + (A + B) + 70^\circ + E = 540^\circ\\\\
180^\circ + 180^\circ + 70^\circ + E = 540^\circ \implies 360^\circ + 70^\circ + E = 540^\circ\\\\430^\circ + E = 540^\circ\\\\
\therefore E = 540^\circ - 430^\circ = \boxed{110^\circ_{//}}[/tex3]