Pré-Vestibular ⇒ Matrizes - UEM - 2020 - questão 29 Tópico resolvido

[potuw10]

Boa noite,

estou precisando de ajuda na seguinte questão. Desde já obrigado!

Dadas duas matrizes [tex3]3\times 3[/tex3], [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], com entradas reais, dizemos que [tex3]A[/tex3] é conjugada a [tex3]B[/tex3] se existe uma matriz [tex3]C[/tex3], de mesma ordem e inversível, tal que [tex3]B = CAC^{-1}[/tex3]. Assinale o que for correto.

01) Se [tex3]A[/tex3] é conjugada a [tex3]B[/tex3], então [tex3]B[/tex3] é conjugada a [tex3]A[/tex3].
02) A matriz identidade de ordem [tex3]3\times 3[/tex3] é conjugada a qualquer outra matriz de mesma ordem.
04) Toda matriz [tex3]A[/tex3] de ordem [tex3]3\times 3[/tex3] é conjugada a [tex3]2A[/tex3].
08) Se [tex3]A[/tex3] é conjugada a [tex3]B[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é conjugada a [tex3]C[/tex3], então [tex3]A[/tex3] é conjugada a [tex3]C[/tex3].
16) Toda matriz [tex3]3\times 3[/tex3] inversível é conjugada à sua inversa.

Resposta

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01 + 08 = 09

[matbatrobin]

1 - Verdadeira. [tex3]B=CAC^{-1}\Longrightarrow C^{-1}B=\underbrace{C^{-1}C}_{I\,}AC^{-1}=AC^{-1}\Longrightarrow C^{-1}BC=A\underbrace{C^{-1}C}_{I\,}=A.[/tex3] Seja [tex3]D=C^{-1},[/tex3] temos [tex3]A=DBD^{-1}[/tex3] onde [tex3]D[/tex3] é inversível, logo [tex3]B[/tex3] é conjugado de [tex3]A[/tex3].

2 - Falsa. Se [tex3]A_{3\times 3}[/tex3] é conjugada de [tex3]I_{3\times 3},[/tex3] então existe [tex3]C_{3\times 3}[/tex3] inversível tal que [tex3]A=CIC^{-1}=CC^{-1}.[/tex3] Note que [tex3]A A=C\underbrace{C^{-1}C}_{I\,}C^{-1}=CC^{-1}=I.[/tex3] Portanto, [tex3]A[/tex3] é inversível e [tex3]A=A^{-1},[/tex3] o que não é satisfeito por qualquer matriz [tex3]3\times 3.[/tex3] Como [tex3]A[/tex3] é inversível [tex3]\Leftrightarrow \det A\neq 0[/tex3], logo toda matriz com determinante nulo falha em ser conjugada da identidade.

4 - Falsa. Suponha [tex3]I_{3\times 3}[/tex3] conjugada a [tex3]2I_{3\times 3},[/tex3] então existe [tex3]C_{3\times 3}[/tex3] inversível tal que [tex3]2I=CIC^{-1}=CC^{-1},[/tex3] logo [tex3]C^{-1}2I=2C^{-1}=\underbrace{C^{-1}C}_{I\,}C^{-1}=C^{-1}\Longrightarrow C^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/tex3] que não é inversível, contradição.

8 - Verdadeira. Se vale [tex3]A[/tex3] conjugada de [tex3]B[/tex3] e [tex3]B[/tex3] conjugada de [tex3]C,[/tex3] então existem [tex3]D_{3\times 3}, E_{3\times 3} [/tex3] inversíveis tais que [tex3]C=EBE^{-1}[/tex3] e [tex3]B=DAD^{-1}.[/tex3] Tome [tex3]F=ED,[/tex3] segue que [tex3]C=EDAD^{-1}E^{-1}=(ED)A(ED)^{-1}=FAF^{-1},[/tex3] o que prova a alternativa.

16 - Falsa. (Resolução 1) Tome [tex3]A=2I,[/tex3] logo [tex3]A^{-1}=\frac{1}{2}I.[/tex3] Se [tex3]A^{-1}[/tex3] é conjugada de [tex3]A,[/tex3] temos que existe [tex3]C[/tex3] inversível tal que [tex3]2I=A=CA^{-1}C^{-1}=C\frac{1}{2}IC^{-1}=\frac{1}{2}CC^{-1}=\frac{1}{2}I,[/tex3] contradição. Portanto, a 16) é falsa.

(Resolução 2) Aqui usaremos autovetores e autovalores, que eu só aprendi no ensino superior. Então acho que a resolução acima era a que o elaborador da prova tinha em mente para o vestibulando.

Seja [tex3]A[/tex3] conjugada de [tex3]B,[/tex3] então [tex3]B[/tex3] é conjugada de [tex3]A[/tex3] e [tex3]A=CBC^{-1}[/tex3] para alguma [tex3]C[/tex3] inversível. Seja [tex3]\lambda[/tex3] um autovalor qualquer de [tex3]A[/tex3] (lembre que [tex3]A[/tex3] é inversível [tex3]\Rightarrow \lambda\neq 0[/tex3]) e [tex3]v\in \mathbb{R}^3[/tex3] seu autovetor, temos [tex3]\lambda v=Av=CBC^{-1} v\Longrightarrow C^{-1}\lambda v= \underbrace{C^{-1}C}_{I\,}BC^{-1}v \Longrightarrow B(C^{-1}v)=\lambda (C^{-1}v).[/tex3] Assim, [tex3]\lambda[/tex3] é autovalor de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C^{-1}v[/tex3] é seu autovetor. Concluímos que matrizes conjugadas sempre tem os mesmos autovalores. Mais do que isso, se [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são conjugadas, é possível provar que os autovalores tem a mesma multiplicidade em ambas as matrizes, mas não demonstrarei aqui, pois como veremos a seguir não é necessário para a questão.

Assim, a alternativa é verdadeira somente se toda matriz inversível tem os mesmos autovalores que sua inversa, o que não é verdade. Quem sabe essa propriedade pode acabar a questão por aqui, marcando falso, mas darei um exemplo. Usando o fato de que os autovalores de uma matriz diagonal estão na sua diagonal principal, tomamos a matriz [tex3]A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}[/tex3] e sua inversa [tex3]A^{-1}=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \\ \end{pmatrix}[/tex3] e vemos que os autovalores de [tex3]A[/tex3] são [tex3]2,3,4[/tex3] enquanto os de [tex3]A^{-1}[/tex3] são [tex3]1/2,1/3,1/4,[/tex3] o que implica que [tex3]A[/tex3] e [tex3]A^{-1}[/tex3] não são conjugadas e a 16) é falsa.

[potuw10]

Valeu mesmo, estava quebrando a cabeça aqui. Obrigado!