Olimpíadas ⇒ OBM (2005) - Geometria Espacial - Prismas Tópico resolvido

[lucascnl]

Um prisma é reto e tem como base um triângulo equilátero. Um plano corta o prisma mas não corta nenhuma de suas bases, determinando uma secção triangular de lados [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]. Calcule o lado da base do prisma em função de [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Não sei como fazer essa, se alguém puder ajudar/mandar uma ideia, fico agradecido!

Resposta

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[tex3]l = \sqrt{\frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2\sqrt{a^{4} + b^{4} + c^{4} - a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2}}}{3}}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]\alpha[/tex3] o plano de uma das bases do prisma.

Seja [tex3]\beta[/tex3] o plano do triângulo de lados [tex3]a,b,c[/tex3].

Seja [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre os planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3].

Temos que [tex3]\cos (\theta) = \frac {A_{\alpha}}{A_{\beta}} = \frac {\ell^2 \sqrt3}{4S}[/tex3]

com [tex3]16S^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)[/tex3]

Agora é achar o [tex3]\cos (\theta)[/tex3] de alguma forma.

Minha vontade é de usar vetores. O problema sai, mas dá muito trabalho.

Encontrei um jeito por geometria plana e o básico de espacial para resolver, mas dá muito trabalho mesmo, cheguei em equações absolutamente gigantescas.

Seja [tex3]k = \frac1{\cos(\theta)} = \frac{4S}{\ell^2 \sqrt3}[/tex3], eu cheguei na seguinte equação:

[tex3]\sqrt{c^2 - (\square)^2} + \sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{\ell^2-b^2} + \sqrt3 \sqrt{b^2-\frac{\ell^2}{k^2}}}{2\sqrt{k^2-1}})^2} = \sqrt{b^2- (\sqrt{\frac{\ell^2-b^2}{k^2-1}})^2}[/tex3]

sendo [tex3]\square = \frac{\sqrt{\ell^2-b^2} + \sqrt3 \sqrt{b^2-\frac{\ell^2}{k^2}}}{2\sqrt{k^2-1}} - \sqrt{\frac{\ell^2-b^2}{k^2-1} }[/tex3]

esta é uma equação que só tem como variáveis [tex3]\ell,a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]. Dá trabalho explicar como eu cheguei nela e nem a ajeitei direito, mas, se algum monstro da álgebra conseguir resolver essa equação, o problema se acaba.

[lucascnl]

Hmm, o A[tex3]\alpha [/tex3] e o A[tex3]\beta[/tex3] são as áreas que os planos interseccionam no prisma?

[FelipeMartinMOD]

lucascnl, não. O [tex3]A_{\alpha}[/tex3] é a área do triângulo equilátero na base [tex3]\alpha[/tex3] do prisma e [tex3]A_{\beta}[/tex3] é a área do triângulo de lados [tex3]a,b,c[/tex3].

É um resultado relativamente famoso da geometria espacial

[joaovitor]

Rpzd, tentei fazer por planificação aqui, mas não saiu, não. O plano que eu supus formou um trapézio isóseceles na planificação do prisma, encontrei dois triângulos retângulos, mas que não me levaram a lugar algum. Não consegui montar nenhuma relação métrica/pitagórica interessante.

Então, eu resolvi dar uma garimpada no Google pra ver se eu encontrava algo sobre essa questão. Após alguns minutos encontrei um PDF com a resolução desse exercício + vários de prismas de algumas provas militares.

E a resolução me deixou assim . No final das contas, eu acabei pensando mais do que deveria.

Queimei um fosfato legal nessa questão kkkk.

Enfim, vou deixar aqui em baixo a ideia da resolução. Se necessário, eu posso postar o restante aqui, mas vou deixar só a ideia pra quem quiser tentar depois. É relativamente fácil de achar a resolução pesquisando na Internet.

[FelipeMartinMOD]

joaovitor, cara, vou postar o que eu fiz depois pra te mostrar. Esse problema é profundo e eu não tenho base em espacial.

Mas com essa figura aí sai: [tex3]c^2 = \ell^2 + (\sqrt{b^2-\ell^2} - \sqrt{a^2-\ell^2})^2[/tex3]

[tex3]c^2 = u + b^2-u + a^2-u - 2\sqrt{(b^2-u)(a^2-u)}[/tex3]
[tex3]4(b^2-u)(a^2-u) = (a^2+b^2-c^2 - u)^2[/tex3]
[tex3]4(a^2b^2-u(a^2+b^2)) + 4u^2 = u^2 -2u(a^2+b^2-c^2) + (a^2+b^2-c^2)^2[/tex3]
[tex3]3u^2 -2u(a^2+b^2+c^2) +4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2 = 0[/tex3]
daí é só fazer o tal do bhaskara.

[joaovitor]

joaovitor, cara, vou postar o que eu fiz depois pra te mostrar. Esse problema é profundo e eu não tenho base em espacial.

Mas com essa figura ai sai: [tex3]c^2 = \ell^2 + (\sqrt{b^2-\ell^2} - \sqrt{a^2-\ell^2})^2[/tex3]

É isso mesmo! A partir disso, é jogar o [tex3] \ell^2[/tex3] subtraindo no mesmo lado que [tex3]c^2[/tex3] e sair manipulando a equação. Ao final desse processo, será obtida uma equação do segundo grau em [tex3]\ell^2[/tex3]. Daí, usa-se a fórmula resolutiva para equações do segundo grau, pra finalmente achar aquela equação gigante do gabarito.

Essa questão é bizarra mesmo, não tem saída fácil e qualquer coisa que a pessoa tá tentando parece que não vai chegar em lugar algum, pois as contas são assustadoramente grandes.

[petrasMOD]

FelipeMartin,

complementando para conhecimento