Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 102 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura calcular x
A) 22^o30'
B) 18^o30'
C) 26^o30'
D) 30^o
E) 15^o

Resposta

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Resposta:B

[petrasMOD]

Sem perda de generalidade faremos AB=2.


[tex3]\mathsf{AD^2+AO^2=DO^2⇔(2−x)^2+12=(1+x)^2 \implies x=\frac{2}{3}.\\
AD=2−x=\frac{4}{3}\\
\therefore DO=\sqrt{AD^2+AOP^2}=\frac{5}{3}} [/tex3]

F é ponto de tangência de ambas as semicircunferencias
Seja I a interseção de CF con AB.

[tex3] cos \angle ADO=\frac{AD}{DO}=\frac{4}{5}\\

\angle ACI=\angle \frac{\angle ADO}{2}\\

\therefore sen \angle ACI=\sqrt{\frac{1−cos \angle ADO}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\\

tan \angle ACI=\sqrt\frac{1−cos \angle ADO} {1+cos \angle ADO}=\frac{1}{3}\\
AI=CA⋅tan \angle ACI=\frac{2}{3}=x\\[/tex3]

COm isso dedduzimos que a reta IG é tangente a semicircunferência superior en G (e perpendicular a AB).

[tex3] \therefore \angle ACI=arctan(\frac{1}{3})≈\boxed{18.43^o}[/tex3]
(Solução:LuisFuentes)