Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 110 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura mostrada. Se tem "n" circunferências tangentes exteriormente de raios cujo tamanho é R.
Os centros das circunferências se encontram na reta xx'.
Calcular AB, se: T é ponto de tangência.
A) [tex3]\frac{4R}{(2n-1)}[/tex3]
B) [tex3]\frac{4R\sqrt{n-2}}{(2n-1)}[/tex3]
C) [tex3]\frac{4R\sqrt{2n-2}}{(2n-1)}[/tex3]
D) [tex3]\frac{4R}{n}[/tex3]
E) [tex3]\frac{R}{n+1}[/tex3]

Resposta

---

Resposta:C

*Gabarito incorreto...não existe alternativa correta

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo entre o eixo [tex3]x[/tex3] e [tex3]AB[/tex3]:

[tex3]\sen (\alpha) = \frac{r}{2(n-1)r} = \frac1{2(n-1)}[/tex3]

trace a mediatriz de [tex3]AB[/tex3] e seja [tex3]y[/tex3] a distância da reta [tex3]AB[/tex3] ao centro da penúltima circunferência.

[tex3]\sen (\alpha) = \frac{y}{2r(n-2)} \implies y = \frac{r(n-2)}{n-1}[/tex3]

por fim:

[tex3]r^2 = (\frac{AB}2)^2 + y^2 \implies AB = 2r \sqrt{1 - (\frac{n-2}{n-1})^2} = \frac{2r}{n-1} \sqrt{2n -3}[/tex3]