IME / ITA ⇒ (ITA - 1971) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A equação [tex3]\left\{\sen(\cos x)\right\}\cdot\left\{\cos(\cos x)\right\}=1[/tex3] é satisfeita para:

a) [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3].
b) [tex3]x=0[/tex3].
c) nenhum valor de [tex3]x[/tex3].
d) todos os valores de [tex3]x[/tex3].
e) todos os valores de [tex3]x[/tex3] pertencentes ao terceiro quadrante.

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Vamos começar chamando [tex3]\cos(x)=\alpha[/tex3]. Assim:

[tex3]\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)=1[/tex3]

Multiplicando ambos os lados por [tex3]2[/tex3]:

[tex3]2\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)=2[/tex3]

[tex3]\sin(2\alpha)=2[/tex3]

Ou seja, assim descobrimos que não existe valor real de [tex3]\alpha[/tex3] que satisfaça a equação acima, pois a função seno varia de -1 a 1, nunca resultando 2.

A resposta mais correta seria a letra C, mas estaria mais correta se ela dissesse que não existe valor REAL de [tex3]x[/tex3] que satisfaz a equação.

Um grande abraço.

[Natan]

Uma pergunta prof: considerando todos os conjuntos numéricos existentes, existe algum [tex3]x[/tex3] que satifaz a igualdade que você citou?, qual?

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Se estivermos trabalhando com Funções Trigonométricas de Variáveis Complexas, podemos ter o resultado esperado.

Só para dar um pitaco nesse tópico, veja a definição por séries das funções SENO e COSENO:

[tex3]\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}[/tex3]

[tex3]\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot x^{2n}[/tex3]

Veja a função coseno aplicada no número complexo [tex3]i[/tex3]:

[tex3]\cos(i)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot i^{2n}[/tex3]

[tex3]\cos(i)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot (i^2)^n[/tex3]

[tex3]\cos(i)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot (-1)^n[/tex3]

[tex3]\cos(i)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+...[/tex3]

Veja que o resultado será um número maior do que [tex3]1[/tex3].

Um grande abraço.