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a) Se [tex3]f(x,y)= xe^{y}[/tex3], determine a taxa de variação de [tex3]f[/tex3] no ponto [tex3]P(2,\,0)[/tex3] na direção de [tex3]P[/tex3] a [tex3]Q\(\frac{1}{2},\,2\)[/tex3].

b) Em que direção f tem a maior taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

a)
Lembre-se que a taxa de variação é calculada pela derivada direcional.

[tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)=e^y[/tex3].
[tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)=xe^y[/tex3].
Logo [tex3]\nabla{f}(x,y)=(e^y,xe^y)[/tex3].

Temos também o vetor [tex3]v=PQ=Q-P=(\frac{1}{2}-2,2-0)=(-\frac{3}{2},2)[/tex3].
[tex3]|v|=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2}[/tex3].
Usaremos o vetor v normalizado, que chamarei de u:
[tex3]u=\frac{v}{|v|}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})[/tex3].

Como essa f é diferenciável, podemos usar a fórmula [tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)=\nabla{f}(x,y)\cdot u[/tex3].
Aplicaremos no ponto (2,0):
[tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{u}}(2,0)=\nabla{f}(2,0)\cdot (-\frac{3}{5},\frac{4}{5})=(1,2)\cdot (-\frac{3}{5},\frac{4}{5})=\frac{-3+2\cdot 4}{5}=1[/tex3].

b)
Vamos provar que o maior aumento é na direção e sentido do gradiente:
Sabemos que [tex3]u\cdot v=|u|\cdot|v|\cdot \cos{\theta}[/tex3], onde [tex3]\theta \in [0,\pi][/tex3].
Então [tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{u}}(x,y)=\nabla{f}(x,y) \cdot u=|\nabla{f}(x,y)|\cdot|u|\cdot \cos{\theta}=|\nabla{f}(x,y)|\cdot \cos{\theta}[/tex3], pois u é unitário.
O maior valor é obtido para cosseno valendo 1, que acontece quando [tex3]\theta=0[/tex3].
Mas se o ângulo entre u e o gradiente é zero, então teremos u na direção e sentido do gradiente.
Mais especificamente, u é o gradiente normalizado, já que u deve ser unitário: [tex3]u=\frac{\nabla{f}(x,y)}{|\nabla{f}(x,y)|}[/tex3].
(Supondo obviamente que o gradiente no ponto (x,y) em questão não é nulo).
Logo f aumenta mas depressa na direção e sentido do gradiente.
Tomemos o cosseno como 1, isto é, [tex3]u=\frac{\nabla{f}(x,y)}{|\nabla{f}(x,y)|}[/tex3].
A conta acima vai mostrar que o maior valor da derivada direcional em (2,0) é atingido com esse vetor u:
[tex3]\frac{\partial{f}}{\partial{u}}(2,0)=|\nabla{f}(2,0)|\cdot1=|\nabla{f}(2,0)|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}[/tex3].

Pronto!

Muito obrigada
Só mais uma dúvida, para calcular o valor da taxa de variação máxima é só calcular a norma do vetor gradiente, certo?