Nível I ⇒ Problema 39 - Triângulos -Vol. 2 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC(AB = BC), se traça a bissetriz interna AD, depois a bissetriz do ângulo ADC intercepta a base AC no ponto M, o prolongamento da bissetriz do ângulo ADB no sentido oposto intercepta o prolongamento da base no ponto P.
Calcular o tamanho do segmento CP.
Se : CD = 4m e MP = 14m
A) 7m
B) 9m
C) 11m
D) 13m
E) 15m

Resposta

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Resposta: C

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{ \angle ADM \cong \angle MDC = \alpha\\
\angle BN \cong \angle NDA = \theta\\
2\alpha + 2\theta = 180^o \implies \alpha +\theta = 90^o \\
\therefore \angle NDM \cong \angle MDP = 90^o\\
∡DAC=β→∡DCA=2β→∡CDM=90∘−\frac{3β}{2}→∡DMC=90∘−\frac{β}{2}\\
∡PDM=90∘ \therefore ∡MPD=\frac{β}{2}\\
PM=14\\
Seja: Q~ponto~médio~MP\\
\triangle MDP_({ret)}: DQ=QP=\frac{14}{2}=7\\
∡QDP=∡QPD=\frac{β}{2}→∡DQC=β\\
∡CDQ=90∘−∡CDM−∡QDP=90∘−(90∘−3\frac{β}{2})−\frac{β}{2}=β\\
∡DQC=∡CDQ=β \implies △CDQ_{(isosc)}\\
CQ=CD=4→CP=CQ+QP=4+7=\boxed{11}}[/tex3]
(solução:JohnOmielan-adaptada)