Olimpíadas ⇒ Probabilidade Tópico resolvido

[Analua]

Laura e telma retiraram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? O resultado é o mesmo se depois de uma delas retirar um número o devolve a urna antes da retirada da outra?

[EsleyPires]

Vamos estabelecer, primeiramente, uma ordem: Laura retira o bilhete primeiro, e depois Telma.

Sendo assim, considere que Laura retire o bilhete de número 1 na urna: há [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de isso acontecer. Dessa forma, independentemente do número que Telma retirar, ele será maior que o de Laura. Portanto, há [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{0}{99}=0[/tex3] de chance de Laura retirar um bilhete de número maior que o de Telma quando Laura retira o bilhete de número 1.

Agora, considere que Laura retire o bilhete de número 2 na urna: há, novamente, [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de isso acontecer. Sendo assim, Telma tem [tex3]\dfrac{1}{99}[/tex3] de chance de retirar um número menor que o de Laura. Portanto, há [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{1}{99}=\dfrac{1}{100\cdot 99}[/tex3] de chance de Laura retirar um bilhete de número maior que o de Telma quando Laura retira o bilhete de número 2.

Analogamente, há [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de que Laura retire o bilhete de número 3 na urna. Logo, Telma tem [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{2}{99}=\dfrac{2}{100\cdot 99}[/tex3] de chance de retirar um bilhete de número menor que o de Laura na urna, quando esta retira o número 3.

Podemos repetir esse argumento com todas as possibilidades, sendo que a última vale [tex3]\dfrac{99}{100\cdot 99}[/tex3], quando Laura retira o bilhete de número 100.

Como todos esses eventos são mutuamente excludentes, pelo princípio aditivo, temos que a probabilidade de que Laura retire um bilhete de número maior que o de Telma é de:

[tex3]\dfrac{0}{100\cdot 99}+\dfrac{1}{100\cdot 99}+\dfrac{2}{100\cdot 99}+...+\dfrac{99}{100\cdot 99}=\dfrac{\dfrac{(0+99)\cdot 100}{2}}{100\cdot 99}=\dfrac{50\cdot 99}{100\cdot 99}=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}[/tex3]

Sendo assim, concluímos que há 50% de chance de uma retirar um bilhete de número maior do que a outra (note que a ordem em que cada uma retira o bilhete não importa).

Para a segunda pergunta, pensemos exatamente da mesma maneira, considerando que Laura retira um bilhete da urna antes de Telma.

Quando Laura retira o bilhete de número 1 (cuja probabilidade é de [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3]), não há nenhum bilhete que Telma possa retirar que seja menor que o de Laura, e portanto há [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{0}{100}=0[/tex3] de chance de Laura retirar um bilhete de número maior que o de Telma quando Laura retira o bilhete de número 1.

Agora, considere que Laura retire o bilhete de número 2 na urna: há, novamente, [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de isso acontecer. Sendo assim, Telma tem [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de retirar um número menor que o de Laura (repare que adicionamos um número ao denominador). Portanto, há [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{100^2}[/tex3] de chance de Laura retirar um bilhete de número maior que o de Telma quando Laura retira o bilhete de número 2.

Analogamente, há [tex3]\dfrac{1}{100}[/tex3] de chance de que Laura retire o bilhete de número 3 na urna. Logo, Telma tem [tex3]\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{2}{100}=\dfrac{2}{100^2}[/tex3] de chance de retirar um bilhete de número menor que o de Laura na urna, quando esta retira o número 3. Repetiremos esse processo com todas as possibilidades de bilhete que Laura pode retirar.

Da mesma forma, como os eventos são mutuamente excludentes, podemos fazer:

[tex3]\dfrac{0}{100^2}+\dfrac{1}{100^2}+\dfrac{2}{100^2}+...+\dfrac{99}{100^2}=\dfrac{\dfrac{(0+99)\cdot 100}{2}}{100^2}=\dfrac{50\cdot 99}{100\cdot 100}=\dfrac{99}{2\cdot 100}=\dfrac{99}{200}[/tex3]

Sendo assim, concluímos que há [tex3]\dfrac{99}{200}[/tex3], isto é, 49,5% de chance de que Laura retire um bilhete de número maior que o de Telma nesse caso.

[petrasMOD]

Analua,
OUTRA RESOLUÇÃO:(OBMEP)

Em ambos os casos, Laura e Telma têm a mesma probabilidade de tirar um número maior que o da outra. Se não há devolução, não pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenha o maior número é 50%. Se há devolução, há possibilidade de empate, e a probabilidade de que isso ocorra é igual a 100 casos de empate dividido por 100×100 casos possíveis, que é igual a 0, 01, ou seja, 100 /(100 ×100) = 0,01. Logo, neste caso a probabilidade de que Laura tenha um número maior do que o de Telma é (1 −0,01)/2 = 0,99/2 = 0,495.