Olimpíadas ⇒ Métodos de contagem e probabilidade Tópico resolvido

[Analua]

Ao calcularmos as 2024 primeiras potências do número 3 obtemos os números: 3¹, 3², 3³... 3²⁰²⁴
Ao escolhermos ao acaso uma dessas potências de 3, qual é a probabilidade de que o algarismo das unidades seja 9?

[petrasMOD]

Analua,

Para determinar a probabilidade de que o algarismo das unidades de uma potência de 3 seja 9, precisamos analisar o padrão dos algarismos das unidades das potências de 3.

### Identificação do Padrão das Unidades

Vamos calcular os primeiros valores de [tex3]\(3^n\)[/tex3] e observar os algarismos das unidades:

\[\begin{align*}
3^1 &= 3 \quad \text{(unidade é 3)} \\
3^2 &= 9 \quad \text{(unidade é 9)} \\
3^3 &= 27 \quad \text{(unidade é 7)} \\
3^4 &= 81 \quad \text{(unidade é 1)} \\
3^5 &= 243 \quad \text{(unidade é 3)} \\
3^6 &= 729 \quad \text{(unidade é 9)} \\
3^7 &= 2187 \quad \text{(unidade é 7)} \\
3^8 &= 6561 \quad \text{(unidade é 1)} \\
\end{align*}\]

Podemos observar que os algarismos das unidades seguem um ciclo de 4 valores: 3, 9, 7, 1. Portanto, o padrão se repete a cada 4 potências.

### Cálculo da Frequência do Algarismo 9

[tex3] \(3^2, 3^6, 3^{10}, \ldots\)[/tex3] têm o algarismo das unidades 9.

Em cada ciclo de 4 números, apenas uma potência tem a unidade 9.

### Total de Potências

Estamos considerando as primeiras 2024 potências de 3, ou seja, de [tex3]\(3^1\)[/tex3] a [tex3]\(3^{2024}\)[/tex3].

### Contagem de Ciclos Completos

\[\frac{2024}{4} = 506\]

Isso significa que temos 506 ciclos completos. Como em cada ciclo uma potência tem a unidade 9, temos 506 potências cujo algarismo das unidades é 9.

### Cálculo da Probabilidade

[tex3]\frac{\text{Número de potências com unidade 9}}{\text{Total de potências}} = \frac{506}{2024}=\boxed{\frac{1}{4} = 25\%}[/tex3]