Aritmética elementar
Enviado: 17 Ago 2024, 21:21
Determine os números [tex3]a,b,c \in\{0,1,2,3,...,9\}[/tex3] tal que [tex3]ab+bc=aaa[/tex3].
[tex3]111a = 10a+b + 10b + c \iff 101a = 11b + c \implies a \equiv b+c \mod 10[/tex3]
ou seja, [tex3]b+c \equiv a \mod 10[/tex3].
Se [tex3]b+c <10[/tex3], devemos ter [tex3]a = b+c[/tex3].
Neste caso: [tex3]101a = 101 (b+c) = 11b+c \iff 90b + 100c = 0 \implies b=c= a= 0[/tex3].
As outras soluções são [tex3]10 \leq b+c \leq 18[/tex3] e [tex3]a = b+c -10[/tex3].
[tex3]101 ( b+c-10) = 11b + c \iff 90b + 100c = 1010 \iff 9b + 10c = 101[/tex3]
é uma equação diofantina normal. Jogando [tex3]b=9[/tex3], temos [tex3]81 + 10c = 101 \implies c = 2[/tex3].
É uma solução particular: [tex3](9,2)[/tex3], a geral é [tex3](9+10t, 2-9t)[/tex3] fácil ver que a única solução com [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] nos intervalos pedidos é a que eu postei. Logo, temos somente duas possíveis soluções para o problema:
[tex3]a=b=c=0[/tex3] ou [tex3]a=1,b=9,c=2[/tex3]. Nenhuma outra.