Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Pontos notáveis, circunferência e ponto Tópico resolvido

[Grisha]

14) Num plano, são dados um ponto P e uma circunferencia [tex3]\alpha [/tex3] tal que P [tex3]\in \alpha [/tex3]. O lugar geométrio dos pontos do plano equidistante de P e de [tex3]\alpha [/tex3] é:

a)uma reta
b)uma circunferencia
c)uma semireta
d)um par de retas paralelas
e)um par de retas perpendiculares

A minha resposta foi B, pois se desenhar uma circunferencia interna a [tex3]\alpha [/tex3] e de raio menor porém mesmo centro achei que ficava equidistante.


Resposta:

Resposta

---

C

[ProfLaplace]

Vou fazer um exemplo usando geometria analítica que acho mais interessante.
(No final, se vc fizer um desenho da situação, vai ver que é bem intuitivo que seja essa semirreta).

Seja [tex3]x^2+y^2=1[/tex3] a tal circunferência, com [tex3]P=(1,0)[/tex3].
Seja [tex3](x,y)[/tex3] que equidista de P e [tex3]\alpha[/tex3].
A distância desse ponto até P é [tex3]\sqrt{(x-1)^2+y^2}[/tex3].
E a distância dele até a circunferência é [tex3]|\sqrt{x^2+y^2}-1|[/tex3].
(Faça um desenho para ver isso. Nesse segundo caso, é só medir a distância até a origem e tirar um raio, que mede 1.
O módulo aparece pq o ponto poderia estar dentro da circunferência).

Então [tex3]\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|\sqrt{x^2+y^2}-1|[/tex3].
Elevando ao quadrado:
[tex3](x-1)^2+y^2=x^2+y^2-2\sqrt{x^2+y^2}+1[/tex3]
[tex3]-2x=-2\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
Observe desta equação que devemos ter [tex3]x\geq 0[/tex3].
Elevando ao quadrado novamente:
[tex3]x^2=x^2+y^2 \Rightarrow y^2=0 \Rightarrow y=0[/tex3].

Ou seja, se trata dos pontos (x,y) tais que [tex3]y=0[/tex3] e [tex3]x\geq 0[/tex3].
(Isto é, o semi-eixo dos x's não-negativos, partindo da origem).
Conferindo esses pontos na primeira equação, vemos que eles satisfazem ela.
Então o lugar geométrico é essa semirreta partindo da origem (semi-eixo dos x's não-negativos).

[petrasMOD]

ProfLaplace,

Por que os pontos do semi eixo negativo não atendem? POr exemplo se pegarmos o ponto Q (-0,5,0) ele não estaria na mesma distância da circunferencia e do ponto P

[ProfLaplace]

Fala petras. Esse ponto Q distaria 1/2 da circunferência e 3/2 do ponto P.

[petrasMOD]

ProfLaplace,

Eu teria duas distâncias até a circunferencia...a distancia té o ponto P e até o ponto diametralmente oposto..Então..qualquer ponto na semi reta não teria duas distâncias e assim somente a semi reta após o ponto atenderia as condiçõea?

[ProfLaplace]

Bem, nesse sentido vc teria infinitas distâncias.
Vc poderia calcular a distância de Q até qualquer um dos infinitos pontos da circunferência, além dos dois que citou.

Mas o ponto é que, por definição, qdo se fala distância, refere-se sempre à menor distância (dentre todas as possíveis entre os elementos dos conjuntos).
E a (menor) distância desse Q até [tex3]\alpha[/tex3] é 1/2.

[FelipeMartinMOD]

distância de um ponto [tex3]X[/tex3] a um círculo [tex3]\odot(O,R)[/tex3]= [tex3]d(X,O) -R[/tex3] ou [tex3]R-d(X,O)[/tex3]

me parece que a resposta final é uma cônica: hipérbole ou elipse.

EDIT: a primeira resposta do Laplace está correta.