Concursos Públicos ⇒ 57 cone Tópico resolvido

[Analisesousp]

Um cone circular reto é seccionado por um plano [tex3]\alpha [/tex3] paralelo a sua base. A distância de [tex3]\alpha [/tex3] ao vértice do cone é o dobro da distância de [tex3]\alpha [/tex3] à base desse mesmo cone. A razão entre os volumes da parte do cone que inferior ao plano e o da parte que é superior vale

A) 27/19
B) 19/8
C) 27/8
D) 19/27
E) 8/27

Não sei o gabarito
FGV 2024

[petrasMOD]

Analisesousp,

[tex3]h =[/tex3] a altura total do cone.
[tex3]h_1 =[/tex3] altura da parte inferior (do vértice até o plano[tex3] \alpha[/tex3]).
[tex3]h_2 =[/tex3] altura da parte superior (do plano [tex3] \alpha[/tex3] até a base do cone).

A relação entre as alturas é dada por:

[tex3]h_1 = 2h_2[/tex3]

[tex3]h = h_1 + h_2:[/tex3]

[tex3]h = 2h_2 + h_2 = 3h_2[/tex3]

Logo,[tex3] h_2 = \frac{h}{3}[/tex3] e [tex3]h_1 = \frac{2h}{3}[/tex3].

o volume de um cone é proporcional ao cubo de sua altura, quando os cones têm a mesma forma (neste caso, ambos têm bases circulares e são semelhantes).
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{h_1}{h_2} \right)^3[/tex3]

Substituindo [tex3]h_1 = 2h_2[/tex3] na equação:

[tex3]\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{2h_2}{h_2} \right)^3 = 2^3 = 8[/tex3]

Volume total

[tex3]V = V_1 + V_2[/tex3]

Assim, a razão entre os volumes da parte inferior e superior é:

[tex3]\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{1} = 8[/tex3]

A razão pedida entre [tex3]V_2[/tex3] e [tex3]V_1[/tex3], que é [tex3]\frac{8}{27}[/tex3].

[Analisesousp]

Mestre @petrasMOD , obrigada pela resolução. Tive duas dúvidas:

1) Penso que H1 só poderia ser inferior no caso do cone estar invertido (base do cone para cima e vertice para baixo)

2) na semelhança entre VOLUMES, a seção alfa divide o cone inicial em duas partes, sendo um cone menor semelhante ao cone inicial, e a outra parte é num tronco. Pergunto: ainda assim haveria proporcionalidade de volumes? Vi que foi usada a altura h1 e h2, mas penso que devia ser usada h/H2, caso o V2 fosse o cone menor e V1 fosse o cone inicial.

Poderia me tirar essas dúvidas, por favor? Obrigada