Concursos Públicos ⇒ 65 progressões Tópico resolvido

[Analisesousp]

Seja uma PG de 20 termos, onde a razão entre o 4° e o 8° termo é 4. O 6° termo é [tex3]\pi [/tex3]. Qual o 20° termo?

A) 52[tex3]\pi [/tex3]
B) 64[tex3]\pi [/tex3]
C) 108[tex3]\pi [/tex3]
D) 128[tex3]\pi [/tex3]
E) 256[tex3]\pi [/tex3]

Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024

[petrasMOD]

Analisesousp,

[tex3] \( a_8 = a_1 \cdot r^7 \)
\( a_4 = a_1 \cdot r^3 \)
\( a_6 = a_1 \cdot r^5 = \pi \)[/tex3]

[tex3] \frac{a_8}{a_4} = 4 [/tex3]
\[
\frac{a_1 \cdot r^7}{a_1 \cdot r^3} = 4
\]

\[
r^{7-3} = 4 \quad \Rightarrow \quad r^4 = 4
\]

\[
r = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}
\]


\[
a_6 = a_1 \cdot r^5 = \pi
\]

\[
a_1 \cdot (\sqrt{2})^5 = \pi
\]

\[
a_1 \cdot 2^{5/2} = \pi
\]

\[
a_1 \cdot 4\sqrt{2} = \pi
\]

\[
a_1 = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}
\]


\[
a_{20} = a_1 \cdot r^{19}
\]

\[
a_{20} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{2})^{19}
\]

Como [tex3](\sqrt{2})^{19} = 2^{19/2} = 2^9 \cdot \sqrt{2} = 512\sqrt{2}[/tex3] temos:

\[
a_{20} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \cdot 512\sqrt{2}
\]

\[
a_{20} = \frac{\pi \cdot 512\cdot \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \pi \cdot 128
\]

Portanto, o 20º termo da PG é:

\[
a_{20} = 128\pi
\]

[Analisesousp]

Perdão, @petrasMOD, onde escrevi "onde a razão entre o 4° e o 8° termo é 4", leia-se onde a razão entre o 8° e o 4° termo é 4

[petrasMOD]

Analisesousp,

Solução refeita