Ensino Médio ⇒ Raízes n-ésimas de um complexo Tópico resolvido

[Usuário Excluído 30973]

Estive resolvendo algumas questões de números complexos e me deparei com um """padrão""", que é a representação das raízes de um número complexo sempre formarem um polígono regular no plano de Argand-Gauss... Minha dúvida: porque as raízes n-ésimas de um número complexo sempre formam um polígono regular de n lados ao redor da origem com um ângulo igual entre cada raiz?

[ProfLaplace]

Oi, isso decorre da fórmula de De Moivre.
Vc pode usar a segunda fórmula de De Moivre pra ver isso (A primeira também serve, mas a segunda é mais direta).

Ela garante que todas as raízes terão o mesmo módulo.
Isto faz com que todos os afixos estejam sobre uma mesma circunferência.

Além disso, a fórmula também garante que os ângulos centrais vão ser iguais.

Segue uma explicação mais formal:
Se [tex3]z=p(\cos{t}+i\sin{t})[/tex3], a segunda fórmula de De Moivre diz que as n raízes n-ésimas de z serão:
[tex3]\sqrt[n]{p}(\cos{\frac{t+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{t+2k\pi}{n}})[/tex3],
onde k varia de 0 até n-1.

Logo todas as raízes tem módulo [tex3]\sqrt[n]p[/tex3], isto é, seus afixos estão numa circunferência de centro na origem e raio [tex3]\sqrt[n]p[/tex3].
O ângulo central entre duas consecutivas será [tex3]\frac{t+2(k+1)\pi}{n}-\frac{t+2k\pi}{n}=\frac{2\pi}{n}[/tex3].