Olimpíadas ⇒ Geometria e padrões

[Analua]

Marcelo construiu um mosaico sobre uma faixa retangular ABCD utilizando azulejos na forma de losango, nas cores cinza e amarelo, todos congruentes e com lados medindo 15cm, sempre alternado azulejos cinzas e amarelos e terminando com dois losangos cinzas, como na figura abaixo.
A largura do mosaico é a mesma largura AB da faixa.

a) Supondo que o comprimento AD da faixa é de 15 m, qual é a quantidade de azulejos cinzas e amarelos que ele usou na construção do mosaico?
b) Qual é a largura AB desta faixa?
c) A parte da faixa não coberta pelo mosaico, corresponde a quantos losangos padrão?

[petrasMOD]

@Analua,

a) Para calcular a diagonal menor do losango, temos 6 losangos se encontrando em um ponto comum, Portanto teremos 6 ângulos iguais a 60^o (ângulo interno menor do losango, ou seja, o triângulo formado por dois lados de um losango padrão e a sua diagonal menor é equilátero, sendo assim, a diagonal menor mede 15 cm.

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O mosaico tem como peça padrão a peça composta por 5 losangos cinzas e 12 amarelos, com largura de 3 lados do losango, como destacado em vermelho, ou seja, de 45 cm.

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O comprimento da faixa é de 15 m, o que equivale a 1500 m, que dividido por 45 resulta em 33 peças padrão mais 15 𝑐𝑚 para atingir o comprimento da faixa. Desse modo, para o mosaico, Marcelo precisará de 33 peças padrão e mais dois losangos cinzas para fazer a última coluna. Logo, serão necessários, 33×12=396 losangos amarelos e [tex3] 33×5+2=\boxed{167}[/tex3] losangos cinzas.

b) Da figura inicial percebemos que a largura AB da faixa coincide com o valor de 3 diagonais maiores do losango. O losango padrão é formado por dois triângulos equiláteros unido por um de seus lados
A diagonal maior do losango mede 2[tex3]h_{\triangle equil} = 2.\frac{l\sqrt3}{2} = 2 \frac{15\sqrt3}{2} = 15\sqrt3[/tex3][tex3]2×15\sqrt{32}=2×12,99=25,98=15\sqrt{3} cm[/tex3]
Desta forma a largura da faixa é[tex3] 3×15\sqrt3=\boxed{45\sqrt3}[/tex3].

c) Entre duas peças padrão do mosaico sobra um losango descoberto dividido em dois triângulos, como na figura abaixo. Como foram utilizadas 33 peças padrão temos, nesta situação, uma quantidade de 32 losangos descobertos. Juntando o início e o final do mosaico, vemos que a parte não coberta corresponde a 5 losangos, sendo dois deles divididos em 4 triângulos
Logo, a parte da faixa descoberta pelo mosaico corresponde a [tex3]32+5=\boxed{37} [/tex3]losangos.