Pré-Vestibular ⇒ Identidade trigonométrica Tópico resolvido

[Usuário Excluído 30973]

demonstre a seguinte identidade

[tex3]\sqrt{\frac{1+senx}{1-cosx}}=\frac{\sqrt2}{2}|cotgx+cossecx+1|[/tex3]

[ProfLaplace]

Eai, blza?
Primeiro observe o seguinte: [tex3](\cos{x}+\sin{x}+1)^2=2(\sin{x}+1)(\cos{x}+1)[/tex3].
Se quiser desenvolva os dois lados para ver que são iguais.
Usarei essa identidade na conta principal.

Multiplique o radicando por [tex3]2(1+\cos{x}):[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{(1+\sin{x})\cdot2(1+\cos{x})}{(1-\cos{x})\cdot 2(1+\cos{x})}}=\sqrt{\frac{(\cos{x}+\sin{x}+1)^2}{2\sin^2{x}}}=\frac{|\cos{x}+\sin{x}+1|}{\sqrt{2}|\sin{x}|}= \frac{\sqrt{2}}{2}|\cotg{x}+\cossec{x}+1|.[/tex3]

Se quiser também pode começar a desenvolver pelo lado do módulo. Vc pode achar um pouco mais intuitivo talvez.

[Usuário Excluído 30973]

(cos⁡𝑥+sin⁡𝑥+1)2=2⁢(sin⁡𝑥+1)⁢(cos⁡𝑥+1).

Eu nunca perceberia isso!! Realmente, é mais intuitivo desenvolver pelo lado do módulo, mas gostei bastante da maneira que você resolveu. Obrigada!