Ensino Médio ⇒ geometria espacial - pirâmide ( tronco de pirâmide ) Tópico resolvido

[pLbrasilBOT]

37. Na fundição de alumínio para a industria automobilística são reaproveitados motores usados , latinhas de refrigerantes, panelas, etc. Fundidos , esses materiais produzem uma liga "suja", que deve ser purificada com alumínio puro, Os lingotes de alumínio usados nesse processo apresentam a forma mostrada na figura ao lado, com bases quadradas de lados 30 cm e 20 cm .

Determine o volume de alumínio utilizado em cada peça

Resposta

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[tex3]\frac{9500\sqrt{2}}{3}[/tex3][tex3]cm^{3}[/tex3]

[artst]

Pela fórmula de volume do tronco de pirâmide, temos que:

[tex3]V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b)[/tex3]

Onde [tex3]A_B; A_b; h[/tex3] são, respectivamente, área da base maior, área da base menor e altura. Precisamos, então, encontrar o valor da altura.

Sabendo o ângulo dado foi 60°, podemos fazer a relação mostrada no anexo - tive que fazer rápido e não detalhei muito.

Sabendo que [tex3]h = 5\sqrt{2}[/tex3] podemos seguir para o volume da figura. Assim:

[tex3]V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b)[/tex3]

[tex3]V = \frac{5\sqrt{2}}{3}cm \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} +A_b)[/tex3]

Para [tex3]A_B = L^2[/tex3] onde [tex3]L[/tex3] é o comprimento do lado da base maior e[tex3]A_b = l^2[/tex3] onde [tex3]l[/tex3] é o comprimento da base menor. Sabendo isso:

[tex3]V = \frac{5\sqrt{2}}{3}cm \cdot ((30cm)^2 + \sqrt{(30cm)^2 \cdot (20cm)^2} +(20cm)^2)[/tex3]

[tex3]V = \frac{5\sqrt{2}}{3}cm \cdot (900cm^2 + 30cm \cdot 20cm +400cm^2)[/tex3]

[tex3]V = \frac{5\sqrt{2}}{3}cm \cdot (1300cm^2 + 600cm^2)[/tex3]

[tex3]V = \frac{5\sqrt{2}}{3}cm \cdot 1900cm^2[/tex3]

[tex3]V = \frac{9500\sqrt{2}}{3}cm^3 [/tex3]