Ensino Médio ⇒ Conjugado de complexo Tópico resolvido

[grzlrlph]

Determine z[tex3]\in [/tex3][tex3]\mathbb{C}[/tex3] tal que [tex3]z^{3}[/tex3]=[tex3]\overline{z}[/tex3]

Resposta

---

S={-1,0,1,-i, i}

[rcompany]

[tex3]
\text{Notemos } z=re^{i\theta}\\\\
\begin{array}{rl}
z^3=\overline{z}\Longleftrightarrow& (re^{{i\theta}})^3=re^{-i\theta}\\
\Longleftrightarrow&r^3e^{i3\theta}=re^{-i\theta}\\
\Longleftrightarrow&
\Big\{\begin{array}{l}
r^3=r\\
3\theta=-\theta+k2\pi,\space k\in\mathbb{Z}
\end{array}\\
\Longleftrightarrow&
\Big\{\begin{array}{l}
r=0\text{ ou } r=1\text{ ou }r=-1\\
\theta=0+k\dfrac{\pi}{2},\space k\in\mathbb{Z}
\end{array}\\

\end{array}\\
S=\{0;e^{ik\frac{\pi}{2}};-e^{ik\frac{\pi}{2}}\}_{k\in\mathbb{Z}}=\{0;1;-1;i;-i\}\\
\\
\text{Usando a notação }z=x+iy \text{ chegamos também, de forma um pouco mais fastidiosa}\\
z^3=\overline{z}\Leftrightarrow(x+iy)^3=x-iy\\
\Leftrightarrow\Big\{\begin{array}{rl}
x^3-3xy^2=x\\
3x^2y-y^3=-y
\end{array}(1)\\
\text{Se }x=0,y=0 \space\space(1)\text{ é verdadeira e então 0 é solução}\\
\text{Se }x=0,y\neq0\space\space (1)\Leftrightarrow y=0\text{ ou }y=1\text{ ou }y=-1\Leftrightarrow z\in\{0;i;-i\}\\
\text{Se }x\neq0, y=0\space\space (1)\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=1\text{ ou }x=-1\Leftrightarrow z\in\{0;1;-1\}\\
\text{Se }x\neq0, y\neq0\space\space (1)\Rightarrow y^2=-\frac{1}{2}\text{ impossível já que }y\in\mathbb{R}\\
\text{E então temos }S=\{0;1;-1;i;-i\}
[/tex3]

[ProfLaplace]

Muito boa a solução do rcompany!
Vou só deixar uma outra alternativa aqui, pois eu já estava digitando quando ele respondeu kkk.

Uma outra ideia é vc lembrar que [tex3]z\overline{z}=|z|^2.[/tex3]
Para usar isso, basta multiplicar a equação original por [tex3]z:[/tex3]
[tex3]z^4=z\overline{z}=|z|^2.[/tex3]
Aplicando módulo dos dois lados, temos
[tex3]|z^4|=||z|^2| \Rightarrow |z|^4=|z|^2 \Rightarrow |z|=0 \quad \text{ou} \quad |z|=1.[/tex3]
De [tex3]|z|=0[/tex3] tiramos a solução [tex3]z=0.[/tex3]
Agora se [tex3]|z|=1,[/tex3] podemos escrever [tex3]z=e^{i\theta}.[/tex3]
Substituindo isso em [tex3]z^4=|z|^2[/tex3] obtemos
[tex3]e^{4i\theta}=1=e^{0i} \Rightarrow 4\theta=0+2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\pi k}{2},[/tex3] onde k é inteiro.
Variando k de 0 até 3, você vai encontrar as soluções [tex3]1,i,-1,-i[/tex3] (nessa ordem).

OBS: Uma outra alternativa ainda seria vc aplicar módulo antes de multiplicar por [tex3]z.[/tex3]

[grzlrlph]

valeuu @rcompany e @ProfLaplace ! Vou tentar as duas