Olimpíadas ⇒ (IMO-79)- Rufino Vol. 0- Capítulo de Fatoração Tópico resolvido

[K1llua]

Os números reais não negativos x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ e [tex3]a[/tex3] satisfazem as seguintes relações:
[tex3]\left\{\begin{matrix}1\times x_{1}+2\times x_{2}+3\times x_{3}+4\times x_{4}+5\times x_{5}=a
& & & & & \\1^{3}\times x_{1}+2^{3}\times x_{2}+3^{3}\times x_{3}+4^{3}\times x_{4}+5^{3}\times x_{5}=a^{2}
& & & & & \\1^{5}\times x_{1}+2^{5}\times x_{2}+3^{5}\times x_{3}+4^{5}\times x_{4}+5^{5}\times x_{5}=a^{3}
& & & & & \\
\end{matrix}\right.[/tex3]
Quais são os possíveis valores de a?

Dica: Desenvolva a soma [tex3]\sum_{k=1}^{n}k(a-k^{2})^{2}x_{k}[/tex3]

Gabarito:

Resposta

---

0, 1, 4, 9, 16 ou 25

Alguém poderia me ajudar, por favor?

[rcompany]

[tex3]
\text{Temos: }\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}kx_k=a\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3
\end{array}\right.\\\\
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(a-k^2)^2x_k&=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(ka^2-2ak^3+k^5)x_k\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}ka^2x_k-2\sum_{k=1}^{5}ak^3x_k+\sum_{k=1}^{5}k^5x_k\\
&=\displaystyle a^2\sum_{k=1}^{5}kx_k-2a\sum_{k=1}^{5}k^3x_k+\sum_{k=1}^{5}k^5x_k\\
&=a^2\cdot a-2a\cdot a^2+a^3=a^3-2a^3+a^3=0\\
\end{array}
\\
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(a-k^2)^2x_k=0\implies &\forall k\in\{1;2;3;4;5\},\,k(a-k^2)^2x_k=0\quad \text{já que }k,(a-k^2)^2, x_k\geqslant0\implies k(a-k^2)^2x_k\geqslant0\\
&\text{(a soma de termos positivos ou nulos é nula só se cada termo é nulo)}\\
\implies&\forall k\in\{1;2;3;4;5\},\, a-k^2=0\quad\text{já que $k,x_k>0$}\\
\implies& a\in\{1;4;9;16;25\}\quad\text{já que }k\in\{1;2;3;4;5\}\\
\end{array}
[/tex3]

[K1llua]

[tex3]
\text{Temos: }\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}kx_k=a\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3
\end{array}\right.\\\\
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(a-k^2)^2x_k&=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(ka^2-2ak^3+k^5)x_k\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}ka^2x_k-2\sum_{k=1}^{5}ak^3x_k+\sum_{k=1}^{5}k^5x_k\\
&=\displaystyle a^2\sum_{k=1}^{5}kx_k-2a\sum_{k=1}^{5}k^3x_k+\sum_{k=1}^{5}k^5x_k\\
&=a^2\cdot a-2a\cdot a^2+a^3=a^3-2a^3+a^3=0\\
\end{array}
\\
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k(a-k^2)^2x_k=0\implies &\forall k\in\{1;2;3;4;5\},\,k(a-k^2)^2x_k=0\quad \text{já que }k,(a-k^2)^2, x_k\geqslant0\implies k(a-k^2)^2x_k\geqslant0\\
&\text{(a soma de termos positivos ou nulos é nula só se cada termo é nulo)}\\
\implies&\forall k\in\{1;2;3;4;5\},\, a-k^2=0\quad\text{já que $k,x_k>0$}\\
\implies& a\in\{1;4;9;16;25\}\quad\text{já que }k\in\{1;2;3;4;5\}\\
\end{array}
[/tex3]

Obrigada!