Olimpíadas ⇒ Equações Diofantinas Tópico resolvido

[EsleyPires]

Ache todas as soluções em inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] da equação diofantina [tex3]2x^2-y^6=1[/tex3].

[leozitz]

[tex3]2x^2 = 1 + y^6 = (1+y^2)(1-y^2+y^4)[/tex3]
podemos observar que y é ímpar então o 2 divide 1 + y^2
[tex3]x^2 = \frac{(1+y^2)}{2}\cdot(1-y^2+y^4)[/tex3]
vamos tirar os fatores em comum, [tex3]d = mdc\(\frac{(1+y^2)}{2},(1-y^2+y^4)\)[/tex3]
[tex3]d|y^2 + 1[/tex3] e [tex3]d|(1-y^2+y^4)[/tex3]
[tex3]d|(1-y^2+y^4) - y^2(y^2+1) = 1-2y^2[/tex3]
[tex3]d| 1-2y^2 + 2(y^2+1) = 3[/tex3]
então d divide 3, vamos ver agora se d = 3 ou se d = 1
se d = 3, temos que d|y^2+1 mas testando todos os resíduos que y pode deixar mod 3 nenhum deles satisfaz 3|y^2+1 então [tex3]\frac{(1+y^2)}{2},(1-y^2+y^4)[/tex3] são primos entre si, logo cada um deles deve ser um quadrado.

[tex3](1-y^2+y^4)=b^2[/tex3]
[tex3](1-y)(1+y) = (b+y^2)(b-y^2)[/tex3]
[tex3]b+y^2|1-y^2\implies b+y^2|1+b[/tex3]
sem perca de generalidade b >= 0 (pq la na original a gente tem b^2 então -b e + b tanto faz)
[tex3]b+y^2\le 1+ b[/tex3]
[tex3]y^2\le 1[/tex3]
então y = 0, +1 ou - 1
como tá nos inteiros positivos só tem y = 1 dai x = 1 e então essa é a única solução

[rcompany]

[tex3]
2x^2-y^6=1\\
a=x^2,\,b=y^6\\
2a-b=1\quad(1)\\
a=1,b=1\text{ solução particular de (1)}\\
2a-b=2\cdot1-1\implies 2(a-1)=-1+b\\
\implies 2|-1+b\implies \exists k\in\mathbb{Z}/-1+b=2k\implies b=2k+1\\
\therefore 2a-b=1\implies 2a-2k-1=1\implies a=k+1\\\\
\left.\begin{array}{}a=k+1\\b=2k+1\\k\in\mathbb{Z}\end{array}\right\}\text{solução geral de }2a-b=1\\
\text{ temos então }2(k+1)^2-(2k+1)^6=1\\
k=0\text{ é solução}\\
f(t)=2(t+1)^2-(2t+1)^6-1\text{ é estritamente decrescente em }\mathbb{R}^+\text{ e }f(0)=0\\
\therefore k=0\text{ é a única solução}\\
\therefore (x_0,y_0)=(0+1,2\cdot0+1)=(1,1)\text{ é a unica solução em }\mathbb{N}^2\text{ de }2x^2-y^6=1

[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

@rcompany o "a" é o x², e não o x. Então o certo seria k+1 = x² e 2k+1 = y^6 e não daria pra usar aquele f(t)