Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética: Soma dos n Primeiros Termos Tópico resolvido

[dettymp]

Se [tex3]S_n = 1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n+1}n,[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é inteiro positivo, então [tex3]S_{1992}+S_{1993}[/tex3] é:

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

[Thales Gheós]

Considere as duas PA's:

[tex3]1,3,5,7,9,.....[/tex3] de razão [tex3]2[/tex3]

[tex3]{-}2,-4,-6,-8,.......[/tex3] de razão [tex3]{-}2[/tex3]

sendo [tex3]S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}[/tex3] em que [tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3] e então:

[tex3]S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}[/tex3]

quando a sequência [tex3]1,-2,3,-4,5,-6,....[/tex3] possuir [tex3]1992[/tex3] têrmos,

[tex3]A=1,3,5,7,9,.....[/tex3] terá [tex3]996[/tex3] têrmos da mesma forma que [tex3]B={-}2,-4,-6,-8,.......[/tex3] e quando a sequência possuir [tex3]1993[/tex3] têrmos, teremos:

[tex3]A=1,3,5,7,9,.....[/tex3] com 997 têrmos e [tex3]B={-}2,-4,-6,-8,.......[/tex3] com 996 têrmos.

a soma [tex3]S_{1992}+S_{1993}=2S_{1992}+a_{1993}[/tex3] que é a mesma que:

[tex3]2(S_{A996}+S_{B996})+a_{997}[/tex3]

[tex3]S_{A996}=\frac{2+(996-1)2}{2}\rightarrow S_{A996}=996[/tex3]

[tex3]S_{B996}=\frac{-2+(996-1)(-2)}{2}\rightarrow S_{A996}=-997[/tex3]

[tex3]a_{997}=1+(997-1)\cdot 2\rightarrow a_{997}=1993[/tex3]

[tex3]S_{1992}=-1[/tex3] mas como você pediu [tex3]S_{1992}+S_{1993}[/tex3] o resultado é bem grande:

[tex3]2(S_{A996}+S_{B996})+a_{997}=2(-1)+1993=1991[/tex3]