Quadriláteros - 2003 - Vol 4 ⇒ Problema 54 - Quadrilateros -Vol. 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um trapézio ABCD, sobre a base menor BC se marca o ponto T qualquer e por ele se traçam
paralelas aos lados não paralelos interceptando a base maior AD nos pontos M e N.
Se BC = a e AD = b, calcular o tamanho da mediana do trapézio formada por PQ e o segmneto que une os
pontos médios de PN e QM, sendo P e Q pontos médios de de TM e TN respectivamente.

Resposta

---

Gabarito: E) [tex3]\frac{3(b-a)}{8}[/tex3]

[petrasMOD]

R é ponto médio de MQ e S é ponto médio de PN
[tex3]BC = a\\
x = TC \implies BT = a-x = AM \\
MN = b - (a-x)-x = b - a\\
PQ = \frac{MN}{2} = \frac{b-a}{2}\\
HI=\frac{PQ+RS}{2} = \frac{b-a+2RS}{4}
[/tex3]

Prolongar RS até X e Y em PM e QN respectivamente
[tex3]\triangle MPQ \sim \triangle MXR \implies MX = XP\\
Analogamente: NY = YQ\\
\therefore[/tex3]
XY base média do trapézio MPQN
Assim RS é base média do triângulo PQU
[tex3]RS = \frac{PQ}{2}= \frac{b-a}{4}\\
HI = \frac{b-a+2(\frac{b-a}{4})}{4} = \frac{2b-2a+b-a}{8}= \frac{3b-3a}{8}=\boxed{\frac{3(b-a)}{8}}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]

\text{Trapézio }PQRS:\,UV=\frac{PQ+RS}{2} \quad \text{(comprimento da base mediana igual a soma dos lados paralelos dividida por dois) }\\
\text{Trapézio }PQNM:\,RS=\frac{MN-PQ}{2} \quad \text{(comprimento do segmento unindo os pontos médios das diagonais igual a diferença dos lados paralelos dividida por dois) }\\
\text{Seja }O\text{ o ponto de intersecção de $(PR)$ e $(QS)$:}\\\triangle OPQ:\,RS=\frac{PQ}{2}\\
\text{Consequentemente }PQ=\frac{5PQ}{2}\text{ e }UV=\frac{3PQ}{4}\\
\triangle TMN:\, PQ=\frac{MN}{2}\\
\text{Consequentemente }UV=\frac{3MN}{8}=\frac{3(AD-(AM+ND))}{8}\\
\text{Nos paralelogramos }ATMA\text{ e }TBDN:\, AM=BT\text{ e }ND=TC\\
\text{e então }UV=\frac{3(AD-(BT+TC))}{8}=\frac{3(AD-BC)}{8}=\frac{3(b-a)}{8}[/tex3]